矩估计法的原理及应用

1.矩估计法原理

1900年英国统计学家K·Pearson提出了一个替换原则：用样本矩去替换总体矩.如果总体X的k（k为正整数）阶原点矩存在，则对任意给定的ε>0，当样本量n趋于无穷大时，有

即样本的k阶原点矩依概率1收敛于总体的k阶原点矩.矩估计法的基本思想就是用样本的k阶原点矩作为总体的k阶原点矩μk=E（Xk）的估计.令Ak=μk，即

对于不同的k值，可以得到若干个等式，从中求得参数θ的估计量是样本X1，X2，…，Xn的函数，称为参数的矩估计量.若给定一个样本观测值x1，x2，…，xn，代入可得θ的一个矩估计值.

2.具体做法

假设θ=（θ1，θ2，…，θk）为总体X的待估参数，，X1，X2，…，Xn是来自X的一个样本，令

得到含k个未知数θ1，θ2，…，θk的方程组，从中解出θ=（θ1，θ2，…，θk）的一组解，然后用这个方程组的解分别作为θ1，θ2，…，θk的估计量，这种估计量称为矩估计量，矩估计量的观察值称为矩估计值.

该方法称为矩估计法（一般只需掌握k=1，2的情形）.

例3 要估计一批种子的发芽率p，设X1，X2，…，Xn是总体X的一个样本，求发芽率p的矩估计量.(www.xing528.com)

解 由题可知总体X服从两点分布

P{X=x}=(1-p)1-x px,x=0,1

要估计的参数只有一个p，只需令样本的一阶原点矩（样本均值）等于总体均值E（X）：=E（X）=p，因此得.

为n个样本中发芽的概率.例如：从某批种子中抽取100粒做发芽试验，有86粒种子发芽.由矩估计法可得该批种子的发芽率的一个估计值为86%.

例4 设总体X的均值μ及方差σ2都存在但均未知，且有σ2>0，又设X1，X2，…，Xn是来自总体X的一个样本，试求μ，σ2的矩估计量.

这样看来，虽然矩估计法计算简单，不管总体服从什么分布，都能求出总体矩的估计量，但它仍然存在着一定的缺陷：对于一个参数，可能会有多种估计量.比如下面的例子：

例5 设X～P（λ），λ未知，X1，X2，…，Xn是X的一个样本，求.

由以上可看出，显然是两个不同的统计量，但都是λ的估计量.这样，就会给应用带来不便，为此，R.A.Fisher提出了以下改进方法：最（极）大似然估计法.