常用统计量概率统计及其应用

下面介绍几种常用的统计量，设X1，X2，…，Xn是来自总体X的一个样本，x1，x2，…，xn是相应的样本值.

1.样本均值

称

为样本均值，它的观测值为

若总体X具有均值E（X）=μ和方差D（X）=σ2>0，则

E(Xi)=μ, D(Xi)=σ2, i=1,2,…,n

有.即样本均值的数学期望等于总体的均值，样本均值的方差等于总体方差的倍.

2.样本方差

为未修正样本方差，而称

为修正样本方差，它们的观测值分别为

若总体X具有数学期望E（X）=μ和方差D（X）=σ2>0，则

可见E（S2）=σ2，，即修正样本方差的数学期望等于总体方差，而未修正样本方差的数学期望不等于总体的方差.因此，在数理统计中主要使用修正样本方差，并简称为样本方差.

3.样本标准差

为样本标准差，其观测值为(www.xing528.com)

例2 在对总体X抽取容量为n的样本进行检测时，得到m个互不相同的样本观测值x1，x2，…，xm，它们出现的频率分别为f1，f2，…，fm.求样本均值、样本方差和样本标准差的观测值.

解 设x1，x2，…，xm出现的频数分别为n1，n2，…，nm，显然有

n1+n2+…+nm=n

所以

例3 设总体X服从参数为λ的指数分布，即X～E（λ），样本X1，X2，…，Xn来自总体X，求，E（S2）.

解 由于X～E（λ），因此

由前面的讨论，有

4.样本k阶原点矩

为样本k阶原点矩，它的观测值为

显然，样本一阶原点矩就是样本均值.即A1=.

5.样本k阶中心矩

为样本k阶中心矩，它的观测值为

显然，样本二阶中心矩就是未修正样本方差，即.