概率统计中心极限定理及应用

定理2 棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理

设随机变量Yn服从参数为n，p（0<p<1）的二项分布，则对任意实数x，恒有

证明 设随机变量X1，X2，…，Xn，…相互独立，且都服从B（1，p）（0<p<1），则由二项分布的可加性，知.

由于

E(Xk)=p, D(Xk)=p(1-p), k=1,2,…

根据独立同分布的中心极限定理可知，对任意实数x，恒有

亦即表明正态分布是二项分布的极限分布，当n充分大时，可以利用该定理近似计算二项分布的概率.

注意：因为二项分布B（n，p）可分解为n个相互独立、服从统一分布B（1，p）的n个随机变量的和，故定理2的结论对服从参数为（n，p）的二项分布也成立，即正态分布是二项分布的近似.

例1 某车间有150台同类型的机器，每台出现故障的概率都是0.02，假设各台机器的工作状态相互独立，求机器出现故障的台数不少于2的概率.

解 以X表示机器出现故障的台数，依题意，X～B（150，0.02），且

由棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理，有

例2 一生产线生产的产品成箱包装，每箱的重量是一个随机变量，平均每箱重50 kg，标准差5 kg.若用最大载重量为5 t的卡车承运，利用中心极限定理说明每辆车最多可装多少箱，才能保证不超载的概率大于0.977.

解 设每辆车最多可装n箱，记Xi（i=1，2，…，n）为装运的第i箱的重量（kg），则X1，X2，…，Xn相互独立且分布相同，且

E(Xi)=50, D(Xi)=25, i=1,2,…,n

于是n箱的总重量为

Tn=X1+X2+…+Xn

由独立同分布的中心极限定理，有

由题意，令

有，解得n<98.02，即每辆车最多可装98箱.

习题3.8

1.某储蓄所每天大约有100笔业务，每笔业务都是相互独立的.设第i笔业务发生的净现金额（单位：万元）是随机变量Xi，且已知E（Xi）=D（Xi）=0.5（i=1，2，…，100），假定每笔业务发生的净现金额都是独立同分布的，近似计算这个储蓄所每天总的净现金额不超过60万元的概率.（参考数据Φ（1.414）=0.921，Φ（1）=0.841 3）

2.计算机在进行加法运算时，对每个加数取整.设每个加数的取整误差是相互独立的，它们都在（-0.5，0.5）内服从均匀分布.问：最多有多少个数相加会使误差总和的绝对值小于10的概率不小于0.9？（参考数据Φ（1.645）=0.95，Φ（1.6）=0.945 2）

3.某地区18岁女青年的血压（收缩压：以mm-Hg计）服从X～N（110，122），在该地任选一名18岁女青年，测量她的血压X，已知Φ（0.42）=0.662 8，Φ（0.83）=0.796 7，Φ（1.65）=0.95，求：

(1)P{X≤105},P{100<X≤120};

（2）确定最小的x，使P{X>x}≤0.05.

4.设X1，X2，…，X20相互独立且都服从均匀分布U[0，1]，即，求：

(1)P{Y≤9.1};

(2)P{8.5<Y<11.7}.

5.一家保险公司有10 000个人参加人寿保险，每人每年付12元保险金，在一年内每个人死亡的概率为0.006，死亡时，家属可从保险公司领取1 000元，问：保险公司亏本的概率有多少？保险公司一年的利率不少于80 000元的概率是多少？

总复习题三

1.将两封信随机放入编号为1，2，3，4的四个邮筒内.以随机变量Xi（i=1，2，3，4）表示第i个邮筒内信的数目.求（X1，X2）的分布律.

2.甲、乙两人独立进行两次射击，假设甲的命中率为0.2，乙的命中率为0.5，以X和Y分别表示甲和乙的命中次数，求（X，Y）的分布律.

3.盒子里装有3只黑球、2只红球、2只白球，在其中任意取4只球，用X表示取到黑球的只数，以Y表示取到红球的只数.

求：（1）（X，Y）的分布律；（2）P{X>Y}，P{X=2Y}，P{X+Y=3}，P{X<3-Y}.

4.已知随机变量（X，Y）的概率密度为

求：（1）常数k；（2）P{X<1，Y<3}；（3）；（4）P{X+Y>4}.

5.将两个不同的球任意放入编号为1，2，3的三个盒中，假设每球放入各盒都是等可能的.以随机变量X表示空盒的个数，以随机变量Y表示有球盒的最小编号.

求：（1）（X，Y）的分布律；（2）关于X的边缘分布律；（3）关于Y的边缘分布律.

6.设随机变量X在1，2，3，4四个数字中等可能地取值，随机变量Y在1～X中等可能地随机取一整数值.

求：（1）（X，Y）的分布律；（2）关于X的边缘分布律；（3）关于Y的边缘分布律.(www.xing528.com)

7.已知二维随机变量（X，Y）的分布函数为

求关于X和关于Y的边缘分布函数FX（x）和FY（y）.

8.已知二维随机变量（X，Y）的概率密度为

求：（1）关于X的边缘概率密度；（2）关于Y的边缘概率密度.

9.已知二维随机变量（X，Y）在以原点为圆心，R为半径的圆上服从均分分布，求（X，Y）的概率密度.

10.已知二维随机变量（X，Y）在区域D={（x，y）|0≤x≤2，0≤y≤1}上均匀分布，求：（1）关于X的边缘概率密度；（2）关于Y的边缘概率密度；（3）；（4）P{Y<X2}.

11.将某一医药公司9月份和8月份收到的青霉素针剂的订货单数分别记为（X，Y）的分布律为

求：（1）关于X的边缘分布律；（2）关于Y的边缘分布律.

12.设（X，Y）是二维离散型随机变量，X和Y的边缘分布律如下：

判断X和Y是否相互独立.

13.在一个箱子中装有12只开关，其中2只是次品，在其中取两次，每次任取一只，考虑两种试验：（1）放回抽样；（2）不放回抽样.定义随机变量X，Y如下：

分别就（1）（2）两种情况，求关于X的边缘分布律，关于Y的边缘分布律，并判断X与Y是否相互独立.

14.已知随机变量X与Y相互独立且服从同一分布，其分布律为

求二维随机变量（X，Y）的分布律.

15.已知二维随机变量（X，Y）的概率密度为

求：（1）关于X的边缘概率密度；（2）关于Y的边缘概率密度；（3）判断X和Y是否相互独立.

16.已知二维随机变量（X，Y）的概率密度为

求：（1）关于X的边缘概率密度；（2）关于Y的边缘概率密度；（3）判断X和Y是否相互独立.

17.已知二维随机变量（X，Y）的概率密度为

判断X和Y是否相互独立.

18.设随机变量X，Y相互独立，X服从（0，0.2）内的均匀分布，Y服从参数为5的指数分布，求：（1）（X，Y）的概率密度f（x，y）；（2）P{-1<X≤0.1，Y≤1}.

19.设两个相互独立的随机变量X与Y的分布律为

求随机变量Z=X+Y的分布律.

20.设随机变量X与Y相互独立，且X～U（0，1），Y～U（0，1），求Z=X+Y的概率密度.

21.设随机变量（X，Y）的概率密度为

求Z=X-Y的概率密度.

22.设随机变量（X，Y）的概率密度为

求Z=XY的概率密度.

23.二维随机变量（X，Y）的分布律为

求：（1）E（X）；（2）D（X）；（3）Cov（X，Y）；（4）判断X和Y是否相互独立；（5）判断X和Y是否相关.

24.设二维随机变量（X，Y）的概率密度为

（1）求Cov（X，Y）；（2）判断X和Y是否相互独立；（3）判断X和Y是否相关.

25.已知二维随机变量（X，Y）的概率密度为

求：（1）E（X）；（2）E（Y）；（3）Cov（X，Y）和ρXY；（4）D（X+Y）.

26.设随机变量X和Y相互独立，且E（X）=E（Y）=1，D（X）=2，D（Y）=3，求D（XY）.

27.设D（X）=25，D（Y）=36，求：（1）D（X+Y）；（2）D（X-Y）.

28.从某厂产品中任取200件，检查结果发现其中有4件废品.我们能否相信该产品的废品率不超过0.005？

29.一学校有10 000名住校学生，每人都以70%的概率去图书馆自习，试问：图书馆至少应设多少个座位，才能以99%的概率保证在图书馆上自习的同学都有座位？