中心极限定理在概率统计及其应中的重要性

【课前导读】在实际问题中，许多随机现象是由大量相互独立的随机因素综合影响所成的，其中每一个因素在总的影响中所起的作用是微小的.这类随机变量一般都服从或近似服从正态分布.以一门大炮的射程为例，影响大炮的射程的随机因素包括：大炮炮身结构导致的误差，炮弹及炮弹内炸药质量导致的误差，瞄准时的误差，受风速、风向的干扰造成的误差等.其中每一种误差造成的影响中所起的作用是微小的，并且可以看作相互独立的，人们关心的是这众多误差因素对大炮射程所造成的总的影响.因此，需要讨论大量独立随机变量和的问题.

上节大数定律实际上告诉我们：当n趋向于无穷时，独立同分布的随机变量序列的算术平均值依概率收敛于Xk的数学期望μ，即对任意给定的ε>0，有.那么，对固定的ε>0，n充分大时，事件的概率究竟有多大，大数定律并没有给出答案，本节的中心极限定理将给出更加“精细”的结论.(www.xing528.com)

中心极限定理是棣莫弗—拉普拉斯在18世纪首先提出的，至今其内容已经非常丰富.这些定理在很一般的条件下证明了：无论随机变量Xi（i=1，2，…）服从什么分布，n个随机变量的和在n→∞时的极限分布是正态分布.利用这些结论，数理统计中许多复杂随机变量的分布可以用正态分布近似，而正态分布有许多完美的理论，从而可以获得既实用又简单的统计分析.下面我们仅介绍其中两个最基本的结论.