切比雪夫不等式：概率统计应用

定理1 切比雪夫不等式 设随机变量X数学期望E（X）和方差D（X）都存在，则对任意给定的正数ε，成立

其称为切比雪夫不等式，它的等价形式为

证明 只对X是连续型随机变量情形给予证明.

设X的密度函数为f（x），则有

切比雪夫不等式直观的概率意义在于：随机变量X与它的均值E（X）的距离大于等于ε的概率不超过.在随机变量X分布未知的情况下，利用切比雪夫不等式可以给出随机事件{|X-E（X）|<ε}的概率的一种估计.例如当时，有

也就是说，随机变量X落在以E（X）为中心，以为半径的邻域内的概率很大，而落在该邻域之外的概率很小.当较小时，随机变量X的取值集中在E（X）附近，而这正是方差这个数字特征的意义所在.

例1 已知随机变量X和Y的数学期望、方差以及相关系数分别为E（X）=E（Y）=2，D（X）=1，D（Y）=4，ρXY=0.5，用切比雪夫不等式估计概率P{|X-Y|≥6}.

解 由于(www.xing528.com)

由切比雪夫不等式，有

例2 假设某电站供电网有10 000盏电灯，夜晚每一盏灯开灯的概率都是0.7，并且每一盏灯开、关时间彼此独立，试用切比雪夫不等式估计夜晚同时开灯的盏数在6 800～7 200的概率.

解 令X表示夜晚同时开灯的盏数，则X～B（n，p），n=10 000，p=0.7，所以

E(X)=np=7 000, D(X)=np(1-p)=2 100

由切比雪夫不等式，有

在例2中，如果用二项分布直接计算，这个概率近似为0.999 99.可见切比雪夫不等式的估计精确度不高.切比雪夫不等式的意义在于它的理论价值，它是证明大数定律的重要工具.