蒙特摩特配对问题的均值和方差

在上节方差性质的证明中，我们看到，如果两个随机变量X与Y相互独立，则有

E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}=0

这表明，当E{[X-E（X）][Y-E（Y）]}≠0时，X与Y不独立，因而存在一定的关系，我们可以把这个作为描述X和Y之间相互关系的一个数字特征，有下面的定义：

定义1 设随机变量X与Y数学期望E（X）和E（Y）都存在，如果随机变量[X-E（X）]·[Y-E（Y）]的数学期望存在，则称之为随机变量X和Y的协方差，记作Cov（X，Y）：

Cov(X,Y)=E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}

利用数学期望的性质，容易得到协方差的另一计算公式

Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)

容易验证协方差有如下性质：

性质1 Cov（X，Y）=Cov（Y，X）.

性质2 Cov（X，X）=D（X）.

性质3 Cov（a X，bY）=ab Cov（X，Y），其中a，b为常数.

性质4 Cov（X+Y，Z）=Cov（X，Z）+Cov（Y，Z）.

事实上

由此容易得到计算方差的一般公式

D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y)

或一般地

其中ai（i=1，2，…，n）为常数.(www.xing528.com)

例1 蒙特摩特（Montmort）配对问题

n个人将自己的帽子放在一起，充分混合后每人随机地取出一顶，求选中自己帽子人数的均值和方差.

解 令X表示选中自己帽子的人数，设

i=1，2，…，n，则有

X=X1+X2+…+Xn

易知

所以

因此

E(X)=E(X1)+E(X2)+…+E(Xn)=1

注意到

i≠j，于是

从而

引入协方差的目的在于度量随机变量之间关系的强弱，但协方差有量纲，其数值受X和Y本身量纲的影响，为了克服这一缺点，我们对随机变量进行标准化.

称为随机变量X的标准化随机变量，不难验证E（X*）=0，D（X*）=1.例如，X～N（μ，σ2）（σ>0），由E（X）=μ，D（X）=σ2，有.

下面我们对X和Y的标准化随机变量求协方差，有

上式表明，可以利用标准差对协方差进行修正，从而我们可以得到一个能更好地度量随机变量之间关系强弱的数字特征——相关系数.