随机变量的独立性-概率统计及其应用

【课前导读】二维随机变量（X，Y）中的两个随机变量X和Y之间存在相互联系，因而一个随机变量的取值可能会影响到另一个随机变量取值的概率.下面利用两个事件的独立性的概念引出两个随机变量相互独立的概念，随机变量的独立性是概率统计中十分重要的概念.

我们有下面的定义.

定义1 设二维随机变量（X，Y）的分布函数以及关于X和关于Y的边缘分布函数分别为F（x，y），FX（x）和FY（y），如果对于任意实数x和y，都有

F(x,y)=FX(x)FY(y)

则称随机变量X和Y相互独立.

如果X和Y都是二维离散型随机变量，且（X，Y）的分布律和边缘分布律分别为

则随机变量X和Y相互独立的充分必要条件为：对于（X，Y）的所有可能取值（xi，yj），都有

P{X=xi,Y=yj}=P{X=xi}P{Y=yj}, i,j=1,2,…

即对i，j的所有取值都有Pij=pipj.

如果（X，Y）为二维连续型随机变量，其概率密度和边缘概率密度分别为f（x，y），fX（x）和fY（y），则随机变量X和Y相互独立的充分必要条件为：对于任意实数x，y，都有

f(x,y)=fX(x)fY(y)

例1 设二维随机变量（X，Y）的分布律如下

求（X，Y）关于X和关于Y的边缘分布律并判断X和Y是否相互独立.

解 （X，Y）关于X和关于Y的边缘分布律分别为

由于

因此X和Y不是相互独立的.(www.xing528.com)

例2 已知二维随机变量（X，Y）的概率密度为

判断X和Y是否相互独立.

解 首先求出X，Y的边缘概率密度fX（x）和fY（y）.

显然有　f（x，y）≠fX（x）fY（y）

即X和Y不是相互独立的.

习题3.5

1.设二维随机变量（X，Y）的分布为

问：X与Y相互独立吗？

2.设两个独立的随机变量X与Y的分布律为

求随机变量（X，Y）的分布律.

3.设（X，Y）是二维离散型随机变量，X与Y的联合分布律为

试求：（1）X与Y的边缘分布律；

（2）X与Y是否独立？

4.设（X，Y）的概率密度为，问：X与Y是否独立？

5.设（X，Y）的概率密度为，问：X与Y是否独立？