随机变量分布函数-概率统计及其应用

随机变量是定义在样本空间上的单值实函数，它的取值是有确定的概率的，这是它与普通函数的本质差异.下面我们引进分布函数的概念，它是普通的一元函数，通过它可以利用数学分析的方法来研究随机变量.

定义2 设X是一个随机变量，x为任意实数，函数

F(x)=P{X≤x}, -∞<x<+∞

称为随机变量X的分布函数.

显然，随机变量X的分布函数F（x）是定义在（-∞，+∞）内的一元函数.如果将X看作数轴上随机点的坐标，则分布函数F（x）在x处的函数值等于事件“随机点X落在区间（-∞，x]上”的概率.

对于任意实数a，b（a<b），由于{a<X≤b}={X≤b}-{X≤a}，因此

P{a<X≤b}=P{X≤b}-P{X≤a}=F(b)-F(a)

可见，若已知随机变量X的分布函数，就可以求出X落在任一区间（a，b]上的概率，这表明分布函数完整地描述了随机变量的统计规律性.

分布函数F（x）具有下列性质：

（1）单调性：若x1<x2，则F（x1）≤F（x2）.

事实上，若x1<x2，则F（x2）-F（x1）=P{x1<X≤x2}≥0，所以F（x1）≤F（x2）.

（2）有界性：对任意实数x，有0≤F（x）≤1，且

由F（x）=P{X≤x}以及概率的性质知0≤F（x）≤1.而从几何直观上，当x→-∞时，“随机变量X落在区间（-∞，x]上”这一事件趋近于不可能事件，因此；当x→+∞时，“随机变量X落在区间（-∞，x]上”这一事件趋近于必然事件，因此F（+∞）=.

（3）右连续性：对任意实数x，有F（x+0）=F（x）（证明从略）.

需要指出的是，如果一个函数满足上述三条性质，则该函数一定可以作为某一随机变量X的分布函数，因此，通常将满足上述三条性质的函数都称为分布函数.

例1 抛掷一枚硬币，设随机变量.求：

（1）随机变量X的分布函数；

（2）随机变量X在区间上取值的概率.

解 （1）设x是任意实数.当x<0时，{X≤x}=∅，因此

F(x)=P{X≤x}=P(∅)=0

当0≤x<1时

{X≤x}={X<0}∪{X=0}∪{0<X≤x}={X=0}

因此

当x≥1时

因此(www.xing528.com)

综上所述，X的分布函数为

（2）随机变量X在区间上取值的概率为

例2 设随机变量X的分布函数为

求常数A以及概率P{0.5<x≤0.8}.

解 由于分布函数F（x）是右连续的，因此F（1+0）=F（1）.又

因此A=1.于是

进而

P{0.5<x≤0.8}=F(0.8)-F(0.5)=0.82-0.52=0.39

例3 向数轴上的闭区间[2，5]上投掷随机点，假设随机点落在[2，5]区间上任意一点的可能性相等，用X表示随机点的坐标，求X的分布函数.

解 这是直线上的几何概型问题，随机点落在[2，5]的任一子区间[a，b]上的概率为

对任意实数x，当x<2时，分布函数

F(x)=P{X≤x}=0

当2≤x<5时

{X≤x}={X<2}∪{2≤X≤x}={2≤X≤x}

所以

当x≥5时

{X≤x}={X<2}∪{2≤X≤5}∪{5<X≤x}={2≤X≤5}

所以

F(x)=P{X≤x}=P{2≤X≤5}=1

综上所述，随机变量X的分布函数为

习题2.1

1.某射手射击一个固定目标，每次命中率为0.3，每命中一次记2分，否则扣1分，求两次射击后该射手得分总数X的分布函数.

2.随机变量X的分布函数为

求：（1）常数A；（2）概率；（3）P{-1<X≤2}.