贝叶斯公式及其应用-概率统计及其应用

引例 （如何追究责任）某厂用甲、乙、丙三个车间生产同一产品，各自的次品率分别为5%、4%和2%，它们的产品各自占总产品的25%、35%和40%.有一用户买了该厂1件产品，经检查是次品，用户按规定进行了索赔.厂长要追究生产车间的责任，但是该产品是哪个车间生产的标志已经脱落，问：厂长应如何追究生产车间的责任？

解 各车间所负责任的大小应该正比于该产品是各个车间生产的概率.

记事件A1={甲车间生产的产品}，A2={乙车间生产的产品}，A3={丙车间生产的产品}，事件B={任取1件恰好是次品}，满足有A1，A2，A3两两互斥，且B=A1B+A2 B+A3B，则有.

第i个车间所负责任的大小比例为条件概率P（Ai|B），i=1，2，3.

由条件概率的公式P（Ai|B）P（B）=P（Ai）P（B|Ai），i=1，2，3，得

又因为P（A1）=0.25，P（A2）=0.35，P（A3）=0.4，得

所以乙车间需要负的责任最大.

定义3 设Ω是随机试验E的样本空间，A1，A2，…，An，B是E的一组事件，且P（B）>0，若事件组A1，A2，…，An，B满足：(www.xing528.com)

(1)Ai Aj=∅,(i≠j,i、j=1,2,…,n);

(2)B⊆A1∪A2∪…∪An,

称式（4）为Bayes（贝叶斯）公式，称式（3）中的P（Ai）（i=1，2，…，n）为先验概率，称P（Ai|B）为后验概率.

在实际中，Ai常被视为导致试验结果B发生的原因，而P（Ai）表示各种原因发生可能性大小，故称为先验概率；P（Ai|B）则反映当试验产生了结果B之后，再对各种原因概率产生的新认识，故称之为后验概率.

例5 （确诊率问题）利用血清甲胎蛋白法诊断肝癌，假设B={被检验者有肝癌}，A={被检验者为阳性}.设P（A|B）=0.95，，若人群中P（B）=0.000 4，现在有一人经检查呈现阳性，求此人确诊为肝癌患者的概率P（B|A）.

解 由Bayes公式，有

由此例可知道，经甲胎蛋白法检查，在结果为阳性的人群中，其实真正患肝癌的人还是很少的（只占0.38%），把P（B|A）=0.003 8和已知的P（A|B）=0.95，对比一下是很有意思的.因此，虽然检验法相当可靠，但是被诊断为肝癌的人确实患肝癌的可能性并不大.