《概率统计及其应用：条件概率和乘法公式》

1.条件概率的定义和乘法公式

定义1 设A和B是两个事件，且P（B）>0，即

为在事件B已经发生的条件下，事件A发生的条件概率，记作P（A|B）.

因此，例1中有.

例2 某集体中有N个男人和M个女人，其中患色盲的男性n人，女性m人.用Ω表示该集体，A表示其中全体女性的集合，B表示其中全体色盲者的集合.如果从Ω中随意抽取一人，则这个人分别是女性、色盲者和既是女性又是色盲者的概率分别为

如果限定只从女性中随机抽取一人（即事件A已发生），那么这个女人为色盲者的（条件）概率为

由条件概率公式可得

称式（1）为概率的乘法公式.

乘法公式可以推广到n个事件的情形：

例3 （天气问题）甲、乙两市都位于长江下游，据100多年来的气象记录，知道在一年中，出现雨天的比例甲市占20%，乙市占18%，两地同时下雨占12%.

求：（1）两市至少有一市是雨天的概率；

（2）乙市出现雨天的条件下，甲市也出现雨天的概率；

（3）甲市出现雨天的条件下，乙市也出现雨天的概率.

解 记事件A={甲市出现雨天}，B={乙市出现雨天}，则根据题意有

P(A)=0.2, P(B)=0.18, P(AB)=0.12(www.xing528.com)

(1)P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.26;

(2);

(3).

例4 （零件出售“假一赔十”）已知商店出售某零件，每箱装这种零件100件，且包括4件次品.假一赔十：顾客买一箱零件，如果随机取1件发现是次品，商店立刻用10件合格品取代其放入箱中.某顾客在一个箱子中先后取了3件进行测试，求这3件都不是合格品的概率.

解 记Ai={顾客在第i次取到次品}（i=1，2，3），则有

根据乘法公式可知，顾客取出的3件都不是合格品的概率为

2.条件概率的性质

性质1 对于任意事件A和事件B，有P（A|B）≥0.

性质2 在事件B发生的条件下，必然事件Ω发生的概率为1，即P（Ω|B）=1.

性质3 对于可列个两两不相容事件A1，A2，…，以及任意事件B，有.

性质4 对于任意事件B，有P（∅|B）=0.

性质5 对于任意事件A和事件B，有.

性质6 对于任意事件A1，A2和事件B，有P（A1∪A2|B）=P（A1|B）+P（A2|B）-P（A1 A2|B）.