概率统计应用：条件概率、全概率和贝叶斯公式

【课前导读】全概率公式是概率论中的一个基本公式.它将计算一个复杂事件的概率问题，转化为在不同情况或不同原因下发生的简单事件的概率的求和问题.利用全概率公式，可通过综合分析一事件发生的不同原因或情况及其可能性来求得该事件发生的概率.而贝叶斯公式则考虑与之完全相反的问题，即一事件已经发生，要考察引发该事件发生的各种原因或情况的可能性大小.

实际生活中出现的购买商品“假一赔十”、抓阄与次序是否有关、血液检查出阳性则患此病的可能性多大等问题，将在这节课给出解答.

前面讨论了事件和概率这两个概念，对于给定的一个随机试验，要求出一个指定的随机事件A的概率P（A），需要花很大的力气，现在继续深入讨论，设两个事件A，B，则有加法公式

P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)

特别地，当A，B为互不相容的两个事件时，有P（A∪B）=P（A）+P（B）.此时由P（A）和P（B）即可求得P（A∪B）.但在一般情形下，为求得P（A∪B）还应该知道P（AB）.因而很自然要问，能不能通过P（A）和P（B）求得P（AB），先看一个简单的例子.(www.xing528.com)

例1 考虑有两个孩子的家庭，假定男女出生率一样，则两个孩子（依大小排列）的性别分别为（男，男），（男，女），（女，男），（女，女）的可能性是一样的.

若记A={随机抽取一个这样的家庭中有一男一女}，则.但如果我们事先知道这个家庭至少有一个女孩，则上述事件的概率为.

这两种情况下算出的概率不同，这很容易理解.因为在第二种情况下我们多知道了一个条件.记B={这个家庭中至少有一个女孩}，因此我们算得的概率是在已知事件B发生的条件下，事件A发生的概率，这个概率就是下面要介绍的条件概率.