2014考研数学冲刺篇（数学三）模拟试题5套解析

一、选择题

答案

（1）f（x）=x|e^x-1|·|x-1|的可能不可导点为x=0，1.

由于在点x=0的某个去心邻域内，，而，所以f（x）在点x=0处可导.

由于在点x=1的某个邻域内，f（x）=x（e^x-1）|x-1|，

而不存在，所以f（x）在点x=1处不可导.因此本题选（B）.

附注 应记住函数|x-x₀|在点x₀处不可导，但函数（x-x₀）|x-x₀|在点x₀处可导.

（2）由于所以 因此选（A）.

附注 同样可以计算，具体如下：

由于所以

（3）由知，的收敛域为a-1<x≤a+1，即在点x=a+1处收敛，而x>a+1发散.

所以由题设得a+1=0，即a=-1.因此选（B）.

附注 记住ln（1+x），ln（1-x）的麦克劳林展开式，即

对计算幂级数的收敛域与和函数等是十分有用的.

（4）容易看到y₂-y₁=e^-x（cos x+sin x）是y″+py′+qy=0的特解，从而，e^-x（C₁ cos x+C₂sin x）（C₁，C₂是任意常数）是该微分方程的通解，所以

p=-[（-1+i）+（-1-i）]=2，q=（-1+i）（-1-i）=2.

此外，由题设知e^x是y″+py′+qy=f（x），即y″+2y′+2y=f（x）的特解，所以

f（x）=（e^x）″+2（e^x）′+2e^x=5e^x.

因此选（A）.

附注 题解中有两点值得注意：

（Ⅰ）由e^-x（cos x+sin x）是y″+py′+qy=0的特解知，e^-xcos x，e^-xsin x都是该微分方程的特解且它们线性无关，所以通解为e^-x（C₁cos x+C₂sin x）（C₁，C₂是任意常数）.

（Ⅱ）由于微分方程y″+py′+qy=f（x）有解y₂=e^x+e^-xcos x，其中，e^-xcos x是y″+py′+qy=0的特解，所以由线性微分方程解的构造知，e^x是y″+py′+qy=f（x）的解.

如果能够一下子看出以上两点，本题必能快速获解.

（5）由于A^TAx=0与Ax=0是同解方程组，所以ξ₁，ξ₂必是A^TAx=0的基础解系，即②正确.

由于Ax=0与Bx=0都有基础解系ξ₁，ξ₂，所以ξ₁，ξ₂也是的基础解系，即④正确.因此选（B）.

附注 ξ₁，ξ₂未必是（A+B）x=0的基础解系，例如有相同的基础解系（0，1）^T，但它不是的基础解系，所以（A）与（D）都不能选.

ξ₁，ξ₂也未必是B^∗的基础解系，例如有基础解系（0，1，0）T，（0，0，1）T，但它不是的基础解系.这是因为的秩1<3-1，所以的秩为0.从而无基础解系.因此（C）不能选.

（6）由于所以，（E是三阶单位矩阵）有解λ=-2，2，3，从而A的最小特征值为-2，因此选（B）.

附注 题解中，由于注意到都是初等矩阵，它们的三次方与四次方分别左乘、右乘于表明，对B施行三次“交换第一、二行”的初等变换后，再施行四次“交换第二、三列”的初等变换，所以很快获解.

（7）记C_i={第i次取球取到的是白球}（i=1，2），则

所以，，

因此选（B）.

附注 本题有两点值得注意：

（Ⅰ）A与B这两个随机事件是有区别的.

（Ⅱ）随机事件{第i次取球取到的是白球}（i=1，2，3）的概率是相等的，都为

其中（由于xf（x）是奇函数），

将它们代入式（1）得因此选（B）.

附注 应记住以下结论：

设X₁，X₂，…，X_n是来自总体X的简单随机样本，其平均值，方差，则E（X）=EX，E（S²）=DX.

二、填空题

由于f（x）在点x=0处连续，所以

附注 题解中先计算，这是为了确定在x→0时是无穷小的，从而可以利用e^u-1～u（u→0）化简a的计算.

（10）由于，所以

从而

附注 f（5）（0）也可以利用麦克劳林公式计算：

由于

所以，

（11）方程两边对x求偏导数得

所以，

附注 如果要同时计算，，则从对方程两边求全微分入手，具体如下：，

即 ，

所以

（12）由于，所以由增益函数R（P）=PQ（P）得

即当需求量为100000件时，价格每增加1元会使产品收益增加120000元.

附注 要记住函数弹性的定义，并理解它在经济学上的意义.

（13）由于其中，由r（A）=1，即r（A）等于A的阶数-1知r（A^∗）=1；由r（B）=2，即r（B）小于B的阶数-1知r（B^∗）=0.将它们代入式（1）得

附注 应记住以下公式：

设A是n阶矩阵，A^∗是它的伴随矩阵，则

（14）P（max{X，Y}≤1）=P（X≤1，Y≤1）

附注 应记住以下公式：

设随机变量X、Y相互独立，它们的分布函数分别为F_X（x）与F_Y（y），则

Z₁=max{X，Y}的分布函数F_Z1（z）=F_X（z）F_Y（z）；

Z₂=min{X，Y}的分布函数F_Z2（z）=1-[1-F_X（z）][1-F_Y（z）].

三、解答题

附注 可考虑类似的不定积分，解答如下：

（16）由于，

即，所以f（x）在内连续.

由于时，

时，(www.xing528.com)

此外，由

知f′（0）=0，因此仅有极大值f（0）=1，无极小值，

（17）由f_x′=2x，f_y′=2y知方程组在D的内部无解，即f（x，y）在D的内部无可能极值点.下面计算f（x，y）在D的边界C：（x-1）²+（y-1）²=2上的最值.

记F（x，y）=x²+y²+λ[（x-1）²+（y-1）²-2]，则

F_x′=2x+2λ（x-1）， F_y′=2y+2λ（y-1）.

于是，由拉格朗日乘数法令

解此方程组得x=y=0，x=y=2.由于

f（0，0）=0，f（2，2）=8，

所以，f（x，y）在C上的最小值，即在D上的最小值为f（0，0）=0，在C上的最大值，即在D上的最大值为f（2，2）=8.

附注 二元连续函数在闭区域上的最值计算方法见模拟试题（一）的（17）小题详解中的附注.

（18）由于x→0时

所以，

考虑幂级数由于

所以上述幂级数的收敛半径为1，从而收敛区间为（-1，1），记其和函数为S（x），则

所以，

即

从而

附注 幂级数的和函数S（x）也可以用以下方法计算：在（-1，1）内有

其中，

将式（2）、式（3）代入式（1）得

附注也可计算如下：

其中，

将式（5）、式（6）代入式（4）得

（20）（Ⅰ）方程组（A）的增广矩阵

由于方程组（A）有无穷多解，所以（其中A是方程组（A）的系数矩阵），从而有a+1=0，即a=-1.

（Ⅱ）当a=-1时，方程组（A）与（B）组成的方程组化简后为

对方程组（C）的增广矩阵施行初等行变换：

由此可知，方程（A）与（B）有公共解，即方程组（C）有解时，（其中C是方程组（C）的系数矩阵），因此所求的，并且此时的公共解，x₂=3，

附注 设方程组A₁x=b₁，A₂x=b₂，（其中A₁，A₂分别是m₁×n与m₂×n的矩阵，b₁，b₂，分别是m₁维与m₂维列向量），则这两个方程组有公共解的充分必要条件为方程组

有解.

（21）由A是三阶实对称矩阵知，A^∗也是三阶实对称矩阵.由题设知，，所以A^∗有特征值μ₁=-1，μ₃=1，且它们对应的特征向量分别为α₁=（1，0，-1）^T，α₃=（1，0，1）^T.

由于f（x₁，x₂，x₃）=x^TAx在正交变换x=Qy下的标准形为y²₁+y²₂-y²₃，所以A的特征值为λ₁=λ₂=1，λ₃=-1，|A|=λ₁·λ₂·λ₃=-1，因此A^∗的特征值除μ，外，还有，记它对应的特征向量为α₂=（a₁，a₂，a₃）T，

则它分别与α₁，α₃正交，于是有

其基础解系为（0，1，0）^T，故可取α₂=（0，1，0）^T.由于A的对应λ_i的特征向量即为A^∗ 的对应μ_i的特征向量（i=1，2，3），所以A对应λ₁=1，λ₂=1，λ₃=-1的特征向量分别为α₁，α₂，α_3.

显然α₁，α₂，α₃是正交向量组，现将它们单位化：

记（正交矩阵），则在正交变换x=Qy下

f（x₁，x₂，x₃）=y²₁+y²₂-y²₃，

且，所以

附注 题解中有以下三点值得注意：

（Ⅰ）当用正交变换x=Qy（其中x=（x₁，x₂，…，x_n）^T，y=（y₁，y₂，…，y_n）^T，Q是正交矩阵）将二次型f（x₁，x₂，…，x_n）=x^TAx（其中A是n阶实对称矩阵）化为标准形

λ₁y²₁+λ₂y²₂+…+λ_ny²_n

时，λ₁，λ₂，…，λ_n必都为A的特征值，从而

λ₁+λ₂+…+λ_n=trA，λ₁λ₂…λ_n=|A|.

（Ⅱ）设A是n阶可逆矩阵，α是A的对应特征值λ的特征向量，则A^∗有特征值μ=，且α是A^∗的对应μ的特征向量.

（Ⅲ）A^∗也可计算如下：

由于，所以

因此，由A^∗的定义可得

（22）（Ⅰ）由于（U，V）关于U的边缘概率密度为

所以，

其中，

将它们代入式（1）得

于是，P（X=-1，Y=1）=P（X=1，Y=-1）=P（X=0，Y=1）=0.25.

图 3⁃22

记（X，Y）的概率分布为

则

即解此方程组得p₁=0，p₂=0.05，p₃=0.2.

因此，（X，Y）的概率分布为

（Ⅱ）Cov（X，Y）=E（XY）-EX·EY，其中，E（XY）=（-1）×（-1）×0+（-1）×1×0.25+0×（-1）×0.05+0×1×0.25+1×（-1）×0.25+1×1×0.2

=-0.3，

所以，Cov（X，Y）=-0.3-0.2×0.4=-0.38.

附注 本题是连续型随机变量与离散型随机变量结合的综合题，需计算许多量值，因此对题目审视后应确定计算各个量值的先后顺序：

先计算，为此需先算出关于U的边缘概率密度f_U（u）；然后确定（X，Y）的概率分布表，将已知的概率填入，对未知的概率用p₁，p₂，p₃等表示，并利用已知条件逐一确定这些未知概率；最后根据（X，Y）的概率分布算出Cov（X，Y）.

（23）由于关于X的边缘概率密度为

其中，，所以，

由于，所以由矩估计法，令，即由此得到θ的矩估计量

于是，

附注 要记住以下结论：

设X₁，X₂，…，X_n是来自总体X（具有数学期望与方差）的简单随机样本，则它的均值与方差满足，，E（S²）=D（X）.