2014考研数学冲刺篇（数学三）模拟试题5套及详解

一、选择题

答案

（1）由于f（x）=|x|·（x-2）|x-2|，所以f（x）在点x=0处不可导，在点x=2处可导，因此选（D）.

附注 应记住以下结论：

函数|x-a|在点x=a处不可导，而函数（x-a）|x-a|在点x=a处可导.

（2）由于x²在[0，1]上连续，选项（A），（B），（C）的右边都是x²在[0，1]的积分和式的极限，它们都等于x，即选项（A），（B），（C）都正确.因此选（D）.

附注 也可通过直接计算，确认选项（D）不正确：

（3）由于，同样，f_y′（0，0）=1.因此选（C）.

附注 f（x，y）在点（0，0）连续但不可微，证明如下：由于≤2x+y→0（（x，y）→（0，0）），

所以，f（x，y）在点（0，0）处连续.

由于不存在，

所以，f（x，y）在点（0，0）处不可微.

（4）由{a_n}是单调减少收敛于零的正项数列知，收敛，所以对它两项两项地加括号所得级数

收敛.因此选（D）.

附注 本题获解的关键是，按莱布尼茨定理确定收敛.此外应记住以下的收敛级数性质：

设收敛，则对它任意加括号所得级数仍收敛.但反之未必正确，即当级数任意加括号后所得的级数收敛时，未必收敛.

（5）由α，β，γ线性无关知α，β线性无关，由α，β，δ线性相关知δ可由α，β线性表示，即δ可由α，β，γ线性表示.因此选（B）.

附注 关于向量组的线性相关性的以下结论应记住：

（Ⅰ）设向量组（A）：α₁，α₂，…，α_m.

如果（A）线性无关，则它的任一部分组也线性无关；

如果（A）的任一部分组线性相关，则（A）线性相关.

（Ⅱ）设向量组（A）：α₁，α₂，…，α_m，β.

如果（A）线性相关，则至少存在一个向量可由其余向量线性表示；如果（A）线性相关，但α₁，α₂，…，α_m线性无关，则β可由α₁，α₂，…，α_m线性表示，且表示式是唯一的.

（6）②④都是A可相似对角化的充分必要条件，而①③都是A可相似对角化的充分而非必要条件.因此选（C）.

附注 应记住以下的结论：

设A是n阶矩阵，则“A有n个线性无关的特征向量”，或“A的每个n_i重特征值λ_i的特征矩阵λ_iE-A（E是n阶单位矩阵）都满足r（λ_iE-A）=n-n_i”，都是A可相似对角化的充分必要条件，而“A有n个不同的特征值”，或“A是实对称矩阵”，则是A可相似对角化的充分而非必要条件.

（7）对于选项（C），（X，Y）的概率密度，它关于X与Y的边缘概率密度分别为

显然，f_X（x）f_Y（y）=f（x，y）不是几乎处处成立的，所以X与Y不相互独立.因此选（C）.

附注 应记住选项（A），（B），（D）的结论.

（8）由于随机变量t的概率密度曲线关于纵轴对称，所以由 α=P（|t|≤b）=1-P（|t|>b）=1-P（t>b）-P（t<-b）=1-2P（t>b）得从而由t_α（n）的定义得因此选（C）.

附注 应当记住：

当X～N（0，1）时，满足P（|X|≤b）=α的（其中u_α为满足P（X>u_α）=α的实数）；

当X～t（n）时，满足P（|X|≤b）=α的（其中t_α（n）为满足P（X>t_α（n））=α的实数）.

二、填空题

（9）所给微分方程可以改写成

它的通解为将y（1）=0代入得C=1.所以从而由

得曲线y=y（x）的斜渐近线方程y=-x.

附注 计算曲线y=f（x）的斜渐近线方程时，总是要先计算

如果这两个极限中至少有一个不存在，则计算

（10）由于在[0，+∞）上

且收敛，所以是收敛的反常积分，从而有

即所以，

附注 对收敛的反常积分，可以与定积分那样施行变量代换法与分部积分法.

（11）由于

其中，，

将它们代入式（1）得

附注 由于f（x，y）仅在点（0，0）处可微，所以需用偏导数与全微分的定义计算本题的极限.

由于f（x，y）在点（0，0）处可微，所以有

特别当x=y=t时，上式成为

f（t，t）-f（0，0）=[f_x′（0，0）+f_y′（0，0）]t+o（|t|）.

计算时就利用了上式.

（12）由于f所以f（x）有最小值此外，

所以，由零点定理（推广形式）及f（x）的单调性（即f（x）在（-∞，-1）上单调减少，在（-1，+∞）上单调增加）知，f（x）在（-∞，-1）与（-1，+∞）上各仅有一个零点，故f（x）在（-∞，+∞）上的零点个数为2.

附注 当函数f（x）在[a，b]上连续，且f（a）·f（b）<0时，f（x）在[a，b]上有零点；当函数f（x）在[a，b]上连续、单调，且f（a）·f（b）<0时，f（x）在[a，b]上有且仅有一个零点.

上述的区间换为无穷区间，结论仍成立.

（13）显然A=2，此外，记三阶单位矩阵为E，则

所以，

附注 计算矩阵的行列式时，以下结论是常用的：

设A、B都是n阶矩阵，则|AB|=|A||B|，|kA|=kⁿ|A|（k是常数），|A^∗|=|A|^n-1（n>1）.

当A可逆时，

（14）由于，所以

附注 由于F（x）有间断点x=0，1，2，所以X的概率分布为

即

三、解答题

（15）其中，x→0时

sin xln（e^x+sin x）=sin xln～[1+（e^x-1+sin x）]

～x（e^x-1+sinx），ln（1+x²）～x².

所以

将它代入式（1）得

附注 本题题解中有两点值得注意：

（Ⅰ）计算0⁰，1^∞，∞⁰型未定式极限lim[f（x）]^g（x）时，应先指数化，即lim[f（x）]^g（x） =e^{limg（x）lnf（x）}.

（Ⅱ）计算型未定式极限时，应先进行化简，其中f（x），g（x）分别用它们的等价无穷小代替是化简的重要手段之一.

（16）D如图2⁃16的阴影部分所示，所以

图 2⁃16(www.xing528.com)

其中

所以，

附注 应记住以下公式：

设f₁（x），f₂（x）都是连续函数，且0≤f₁（x）≤f₂（x）（0≤a≤x≤b），设D={（x，y）|0≤a≤x≤b，f₁（x）≤y≤f₂（x）}，则

D绕x轴旋转一周而成的旋转体体积

D绕y轴旋转一周而成的旋转体体积

（17）记D₁={（x，y）|0≤y≤1，y≤x≤1}={（x，y）|0≤y≤x，0≤x≤1}，

则D₁与D₂如图2⁃17所示，于是由

图 2⁃17

得到

附注 对，只有改变积分次序才能算出其值，但是，对于．，不改变积分次序，同样可以算出其值.具体如下：

显然，现在的计算比题解中的计算复杂得多.

（18）所给微分方程可以改写成

式（1）的齐次线性微分方程

y″+2y′+y=0 （2）

的特征方程之根为二重根-1，所以式（2）的通解为

Y=（C₁+C₂x）e^-x.

此外，式（1）有特解

y^∗=Ax²e^-x+（A₁cos x+B₁sin x）+（A₂cos3 x+B₂sin3 x）. （3）

将式（3）代入式（1）得

从而有

因此，所给方程的通解为

附注 题解中有两点值得注意：

（Ⅰ）由于式（2）的特征方程的根为r=-1（二重），所以它的通解为（C₁+C₂x）e^-x.

（Ⅱ）由于式（1）的右边有e^λx=e^-x的项，这里的λ=-1是式（2）的特征方程之二重根，所以式（1）的特解中有Ax²e^-x的项.

（19）记，则

所以，所给幂级数的收敛区间为{x|x²<1}=（-1，1）.当x=-1，1时，幂级数成为

它是收敛的，所以所给幂级数的收敛域为[-1，1].

对x∈[-1，1]得

所以所给幂级数的和函数

s（x）=-ln（1+x²）+2xarctanx（x∈[-1，1]）.

附注 题解中以下两点值得注意：

得到的.

（Ⅱ）由于，所以是定积分而不是反常积分.

（20）由题设知（1，2，2，1）^T-（1，-2，4，0）^T=（0，4，-2，1）^T是方程组Ax=0的解，所以有

4α₂-2α₃+α₄=0，即α₄=-4α₂+2α_3.

由题设（1，-2，4，0）^T是方程组Ax=β的解得

β=α₁-2α₂+4α₃，

于是方程组By=α₁+2α₂，即

（α₃，α₂，α1，β-α₄）y=α₁+2α₂，成为（α₃，α₂，α₁，α₁+2α₂+2α₃）y=α₁+2α₂. （1）

由A=（α₁，α₂，α₃，α₄）的秩为3知α₁，α₂，α₃线性无关，由此得到式（1）的系数矩阵的秩为3，于是对应的齐次方程组的解（2，2，1，-1）^T即为这个齐次方程组的基础解系，此外式（1）有特解（-2，0，0，1）^T.所以，式（1），即方程组By=α₁+2α₂的通解为

y=C（2，2，1，-1）^T+（-2，0，0，1）^T（C为任意常数）.

附注 要记住：齐次线性方程Ax=0（其中A是m×n矩阵，x是n维未知列向量）的基础解系中所包含的线性无关的解向量个数为n-r（A）.

（21）由于

f（x₁，x₂，x₃）=x^TAx=x²₁+2bx₁x₂+2x₁x₃+ax²₂+2x₂x₃+x²₃

所以二次型f（x₁，x₂，x₃）的矩阵

由题设知

即解此方程组得a=3，b=1.

于是，f（x₁，x₂，x₃）=x²₁+2x₁x₂+2x₁x₃+3x²₂+2x₂x₃+x²₃

=（x₁+x₂+x₃）2+2x²2.即则

f（x₁，x₂，x₃）=y²₁+y²₂（规范形）.

附注 题解中的以下两点值得注意：

（Ⅰ）f（x₁，x₂，x₃）=x^TAx中的A不是实对称矩阵，所以它不是二次型f（x₁，x₂，x₃）的矩阵，只有写成f（x₁，x₂，x₃）=x^TBx（其中B是实对称矩阵）时，B才是f（x₁，x₂，x₃）的矩阵.

（Ⅱ）计算f（x₁，x₂，x₃）在可逆线性变换x=Cy（其中C是可逆矩阵，x=（x₁，x₂，x₃）^T，y=（y₁，y₂，y₃）^T）下的规范形，总是对f（x₁，x₂，x₃）施行配平方方法.

（22）（Ⅰ）关于X的边缘概率密度

关于Y的边缘概率密度

（Ⅱ）由于EX=1，所以

由于’其中，

附注 关于f_X（x）的以下计算是错误的：

图 2⁃22

这一点应注意，关于f_Y（y）的计算也有同样说法.

（23）（Ⅰ）由于EX=0·θ²+1·2θ（1-θ）+2·θ²+3·（1-2θ）=3-4θ，并且，样本值的平均值，所以，由矩估计法，令EX=x，即3-4θ=2得θ的矩估计值

（Ⅱ）由题设知当n充分大时，由中心极限定理（具体是棣莫弗⁃拉普拉斯定理）得

因此，所求的参数为，

附注 计算关于随机变量X～N（μ，σ²）的概率问题时，总是引入标准化随机变量，则X°～N（0，1）（标准正态分布）.于是X的分布函数

（其中Φ（u）是标准正态分布函数），

即

由此可知，当本题中的参数就是如此得到的.