美籍匈牙利数学家、数学教育家乔治·波利亚说：“学习数学的主要目的是解题。”解题的价值不是答案本身，而是弄清是怎样想到这个解法的，是什么促使你这样做，这样想。什么是数学技能？数学技能就是解题能力，不仅能解一般性的问题，而且能解决需要某种程度的独立思考、具有判断力和想象力的问题。因此，换元法、配方法、反证法、数学归纳法、构造法等数学的基本方法是我们必须掌握的。下面我们略举几例进行说明。
例1 （李白买酒问题）无事街上走，提壶去买酒；遇店加一倍，见花喝一斗；三遇店和花，喝光壶中酒。试问壶中原有多少酒？
解法1 逆推法（从右向左推）
店—花—店—花—店—花
解法2 顺推法（从左向右推）。
假设壶中原有x斗酒。
店—花—店—花—店—花
x—2x—2x-1—4x-2—4x-3—8x-6—8x-7（完）
例2 （百僧分馒头问题）一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？
解法1 假设置换法。
假设这100个和尚全是大和尚，那么应吃馒头3×100＝300个，少了200个馒头。
现以3个大和尚换3个小和尚，就可少吃3×3－1＝8个馒头。
于是置换200÷8＝25次就符合要求，所以有大和尚25人，小和尚75人。
解法2 分组法。
由题意知1个大和尚加3个小和尚共4个和尚吃馒头3+1＝4个，
由此可将1个大和尚与3个小和尚分为1组，显然可分为25组，
从而有大和尚25人，小和尚75人。
解法3 假设大和尚有x人，那么小和尚有（100－x）人。
由题意列方程3x+（100-x）÷3＝100，解得x＝25。
例3 若以数字表示诗中各字如下：
解法1 试算法。记号：a（b）中，a表示四字成语中第几个字，b表示诗中的数字。
由此得18，2，13，14；即“一日千里”。
解法2 列方程。
例4 已知a，b，c，d∈R，且a＋b＋c＋d＋e＝8，a2＋b2＋c2＋d2＋e2＝16，试确定e的最大值。
解法1 多次应用判别式法。
消去a：（8-b-c-d-e）2+b2+c2+d2+e2=16⇒
2b2-2（8-c-d-e）b+（8-c-d-e）2+c2+d2+e2-16=0。
由b∈R，有(www.xing528.com)
所以3c2-2（8-d-e）c+（8-d-e）2-2（16-d2-e2）≤0。
由c∈R，有
所以4d2-2（8-e）d+（8-e）2-3（16-e2）≤0，
解法2 构造函数。
解法3 应用柯西不等式。
证法1 应用柯西不等式。
证法2 应用a2+b2≥2ab。
证法5 增量法。
证法6 数学归纳法，极端原理。
（2）当n=k时，假设结论成立，即有
要证，当n=k+1时，有
事实上，所给不等式是轮换对称式，于是可设
xk+1=max{x1，x2，xk，…，xk+1}，
由②式，
由（1）（2）知结论对所有n≥1均成立。
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