数学教育：记数法的问题解析

假设有人突然提出这样一个问题：“10”表示多少？我们可能会不假思索地回答：“10”就表示“一十”。这样回答对不对呢？可以说是对的，也可以说是不对的。其对与否，就会涉及所谓“进位制”的问题。

（1）十进制记数法的特点

统编版教材首先指出了我们常用的记数方法是十进制记数法，它的特点是：

①用0，1，2，3，4，5，6，7，8，9共十个数字来表示数，因而每一数位上所使用的数字也是0，1，…，9中之一；

②基数为十；

③进位法是“逢十进一”；

④一般表达式为

其中ai（i＝m，m－1，…，1，0，－1，…，－n）是0，1，…，9中之一。

例如7036.28＝7×103＋0×102＋3×101＋6×100＋2×10-1＋8×10-2。

以十为基数的记数法产生于文化之初，据说因为人的手正好有十根指头，所以自古以来不少地方都广泛地使用着十进制。但是在生产和生活中除了常用十进制的数以外，还会碰到非十进制的计数制，即基数不一定总是十。例如时间，六十秒为一分，六十分为一时，它是六十进制的；又如通常讲的“一打铅笔”，就是十二支，它是十二进制的；再如八人为一桌，使用的是八进制；还有两只鞋为一双，它便是二进制的。

（2）二进制记数法的特点

早在17世纪，就有人赞美过二进制，随着电子计算机的出现，因为机器只能识别有无电脉冲两种情况的信号，用数字表示就是0与1两个符号，考虑设备节省、逻辑控制等主要因素，电子计算机选用二进制最合适；但在机器里也常遇到八进制和其他进制。

就二进制而言，它的特点是：

①只用0与1两个数字来表示数，因而每一数位上所使用的数字也只是0，1之一；

②基数为二；

③进位法则是“逢二进一”；

④一般表达式为：

式中aj（j＝m，m－1，…，1，0，－1，…，－n）为数字0，1之一。

例如（1101.101）2＝1×23＋1×22＋0×21＋1×20＋1×2-1＋0×2-2＋1×2-3。

二进制中的不便之处是显然可见的。例如一个比较小的十进制数便需一个长式表示，如十进制的79在二进制中可表示为1×26＋0×25＋0×24＋1×23＋1×22＋1×21＋1，在二进制中应写成1001111。由此看出，同一个数用二进制表示要比用十进制表示其位数要多得多，粗略地讲，前者约为后者的三倍，因为，若一数N既可近似地写成2n，又可近似地写成10m两种形式，那么有

N≈2n=10m，(www.xing528.com)

lg 2n≈lg 10m，

m≈nlg 2，

n≈3m。

（3）八进制记数法的特点

一个24位的二进制数，大约相当于十进制数的8位。正因为如此，所以教材又讲了在编制电子计算机解题程序时，为了书写方便，常用八进制记数法，它的特点与前面所讲十进制或二进制类似，其一般表达式为

式中ak（k＝m，m－1，…，1，0，－1，…，－n）为数字0，1，…，7中之一。

例如：（25.37）8＝2×81＋5×80＋3×8-1＋7×8-2

（4）进位制的共同规律

至此，对于我们开头提出的问题，在不同进位中便有不同的答案。

因为（10）10＝（10）10；

（10）2＝（2）10；

（10）8＝（8）10；

（10）12＝（12）10。

所以同一记号“10”在十进制中表示“一十”，但在二进制中表示十进制的“二”，在八进制中表示十进制的“八”，在十二进制中表示十进制的“一十二”，等等。

一般说来，对于基数是“r”的r进位制，其任意一个数N均可表示为

式中m，n为非负整数，a是0，1，2，…，（r－1）中的任一个。

从上可以看出进位制有两个主要的共同规律：

①每一个进位制都有一个固定的基数r，它的每一数位可能取r个不同的数字，而且是“逢r进一”的，即是每一位计满r就向高位进一。

②进位制数N都能写成形如（*）的展开式，它的每一位数字aj对应于一个固定的值rj，rj称为a的“权”，相应地（*）式也称为进位制数按权的展开式。

例如二进制数101.01自左至右每一位数字对应的权分别为22，21，20，2-1，2-2。