提升数学基本技能-数学教育的认识与实践

所谓数学基本技能，就是解决数学问题的基本方法、基本技巧，分析和解决问题的基本能力。数学基本技能的掌握与应用，知识是基础，训练是手段，只有基础知识扎实、训练有素，才能“熟能生巧”，有效而巧妙地解答数学问题。

（1）要求学生联想所学基本方法

分析法、综合法、反证法、数学归纳法等都是解答数学问题有效的基本方法，教师应要求学生掌握，并能熟练运用。

例9　（IMO）给定自然数a，b，n，且a＞1，b＞1，n＞1，An与An-1是a进制数系中的数；Bn-1与Bn是b进制数系中的数；An-1，An，Bn-1，Bn呈如下形式：

An-1＝xn-1xn-2…x1x0，An＝xnxn-1xn-2…x1x0（按a进制写出），

Bn-1＝xn-1xn-2…x1x0，Bn＝xnxn-1xn-2…x1x0（按b进制写出）；

其中xn≠0，xn-1≠0。

思考　由题设，有An＝xnan＋xn-1an-1＋…＋x1a＋x0，

An-1＝xn-1an-1＋xn-2an-2＋…＋x1a＋x0；

所以An＝xnan＋An-1。　　①

同理Bn＝xnbn＋Bn-1。　　②

观察①，②两式和结论，教师引导学生联想分析法——执果索因。

例10　（IMO）求有下列性质的最小自然数n：其十进制表示法以6结尾；当去掉最后一位6，并把它写在剩下数字之前，变为n的4倍数。

思考　教师引导学生仔细审题，易知应用综合法——由因索果。

其中0≤ai≤9（i＝1，2，…，k），且ak≠0。

令A＝ak·10k-1＋ak-1·10k-2＋…＋a2·10＋a1，

则n＝10A＋6。

将n的个位数字6移到其余各位数字之前所得新数为6×10k＋A，

由题意，得6×10k＋A＝4（10A＋6），

则39A＝6（10k－4），即13A＝2（10k－4）。

由A∈Z+，（13，2）＝1，知13∣（10k－4），

经试算，满足13∣（10k－4）的最小正整数k＝5，

这时10k－4＝105－4＝99 996∣13（99 996能被13整除），

所以n＝10A＋6＝153 846。

检验：6×10k＋10A＝105×6＋15 384

＝600 000+15 384＝615 384＝4×153 846，

则所求最小自然数为153 846。

由n的末位数是6知m＝4n的末位数字应为4。

至此，由于153 846×4＝615 384，第一次出现4n＝m的第一位上的数字是6。

所以所求最小自然数n＝153 846。

例11　（德国数学竞赛）用S表示1，2，3，…，2n中各项的最大奇数因子之和。

思考　本题是一个与自然数有关的命题，容易想到用数学归纳法证明。

证明　（1）当n＝1时，数列1，2，则S1＝1＋1＝2，

事实上，Sk＝［1＋3＋5＋…＋（2k－1）］＋｛2，4，6，…，2k｝中各项的最大奇数因子之和。

显然，1＋3＋5＋…＋（2k－1）是一等差数列之和，其公差d＝2，

则2k－1＝1＋2（n－1），即2n＝2k，

所以n＝2k-1。

由（1）（2）可知，命题对于任何自然数n都成立。

（2）要求学生联想所学数学基本技巧

灵机“配凑”、恰当分组、巧妙分拆、适当镶嵌等都是解答数学问题有效的基本技巧，教师要在教学中不断总结这些解题技巧，引导学生在解题中灵活运用这些技巧。

例12　（全国高中数学竞赛）设xi∈R+（i＝1，2，3，…，n），求证：

思考1：本题要证的是一个不等式，教师要引导学生联想基本不等式：

再借助“配凑”技巧，有证法1和证法2。

思考2　教师要求学生仔细观察所证不等式，引导学生联想应用广泛的柯西不等式：

再借助“配凑”技巧，便有证法3。(www.xing528.com)

证法3　应用柯西不等式。

例13　（美国数学邀请赛）假设x1，x2，x3，…，x7是实数，使得

求16x1＋25x2＋36x3＋49x4＋64x5＋81x6＋100x7的值。

思考　初看起来，已知条件杂乱无序，很难找到解题突破口。教师引导学生仔细观察已知条件和结论中的系数，会发现都是完全平方数，且按固有顺序轮换。

解　将系数排列如下：

1，4，9，16，25，36，49，④

4，9，16，25，36，49，64，⑤

9，16，25，36，49，64，81，⑥

16，25，36，49，64，81，100，⑦

经过尝试，巧妙地是，④＋⑥×3－⑤×3＝⑦。

所以16x1＋25x2＋36x3＋49x4＋64x5＋81x6＋100x7＝1＋123×3－12×3＝334。

注　本题将系数分组排列相当成功，切中要害，出奇制胜。

例14　（百僧分馒头问题）《算法统宗》：

一百馒头一百僧，大僧三个更无争，

小僧三人分一个，大小和尚各几丁？

思考　教师要求学生仔细审题，弄清题意后，联想恰当的分组解题技巧，易得解答。

解　把1个大僧和3个小僧分为一组，每组4僧吃4个馒头。

100个僧人可以分成100÷（1＋3）＝25（组）。

因此，大僧人数为1×25＝25（人），

小僧人数为3×25＝75（人），

即大僧25人，小僧75人。

注　应用这种技巧解题，要注意检验答案是否正确。否则，将出现错误。例如，把2个大僧和3个小僧分为一组，每组吃7个馒头；100个僧人可分为20组，吃140个馒头；与实际只有100个馒头矛盾。因此分组要恰当可行。

例15　（全国高中数学竞赛）设a1，a2，…，an皆为正数，且a1a2…an＝1，求证：

（2＋a1）（2＋a2）（2＋a3）…（2＋an）≥3n。

思考　教师要求学生仔细审题后，引导学生看结论想均值不等式，再借助分析技巧解答本题。

显然，当且仅当a1＝a2＝…＝an＝1时等号成立。

注：将此题推广，有：

若k∈Z+，ai∈R+（i＝1，2，…，n），且a1a2…an＝1，

则（k＋a1）（k＋a2）…（k＋an）≥（k＋1）n。