设a，b，c为正实数，且满足abc＝1。
这是第36届国际数学奥林匹克试题，解答这个题目至少可列出28种证法，如可以运用基本法、不等式法、配方法、函数法、变换法、参数法、排序法等，是一题多证的好试题，也是探究式学习的典型例证。
分析 本题的难点和关键点在于：
（1）巧用已知条件abc=1或a2b2c2=1，于是有
（2）巧用平均值不等式：
（3）巧用原题的三种等价变形：
在题目条件下，易知H，S，T三式相等。
由于本题证法颇多，这里综合分类给出以下16种。
（1）不等式法
证法1 应用a2+b2≥2ab，
证法2 应用（x-y）2≥0（又称为“零点法”），
证法6 应用x（x-y）≥y（y-x）（x，y∈R+），
注：此不等式的证明在本题解答后面（参见命题1）
注：命题证明在本题解答后面（参见命题2）。
注：命题证明在本题解答后面（参见命题3）。
（2）配方法
（3）函数法
由f（x）≥0且二次项x2的系数大于0知，Δx≤0。即
（4）代换法
则α+β+γ=0，
证法14 （特殊代换法）设x=bc，y=ca，z=ab，
（5）排序法
排序不等式：设有数组A：a1≤a2≤…≤an；B：b1≤b2≤…≤bn；
则a1b1+a2b2+…+anbn≥a1bj1+a2bj2+…+anbjn≥a1bn+a2bn-1+…+anb1；
其中j1，j2，…，jn是1，2，…，n的一个排列，等号当a1=a2=…=an或b1=b2=…=bn时成立。
证法15 不妨设a≤b≤c，则有ab≤ca≤bc，
证法16 设a≤b≤c，则bc≥ca≥ab，b2c2≥c2a2≥a2b2，
这里，再就前面留下的三个不等式的证明补证如下。(www.xing528.com)
证明 由柯西不等式，有
注命题1可推广：
于是有：
注 命题3形式简洁，内涵深刻，由此可推出一系列十分有趣的不等式。
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