例25 某天有若干读者单独去过图书馆，其中任何三个读者中至少有两个人在这一天在图书馆相遇。试证：图书管理员一定可以找到两个时刻发布一个口头通知，使这天到过图书馆的读者至少能听到一次。
思考 图书管理员可选择这样的极端时刻：第一个离馆的读者A离馆的时刻及最后一个进馆的读者B进馆的时刻。
（1）若最后一个进馆的读者在第一个离馆的读者A之前进馆，则此时所有读者均在馆内，一定都能听到通知。
（2）若最后一个进馆的读者B在第一个离馆的读者A之后进馆。如果有一个读者C两次均未听到通知，则C必在上述两个时刻之间在图书馆。
则A，B，C三人均未相遇。与题设矛盾。
所以，图书管理员选择上述两个时刻符合要求。
例26 （美国数学奥林匹克竞赛）某地区网球俱乐部的20名成员举行14场单打比赛，每人至少上场一次。
求证：必有6场比赛，其12个参赛者各不相同。
思考 记参加第j场比赛的选手为（aj，bj）
又记S＝｛（aj，bj）∣j＝1，2，3，…，14｝，
设M为S的一个子集，如果M中所含选手对中出现的选手互不相同，则称M为S的一个“好”子集。
显然，这样的“好”子集只有有限个，这有限个中必有一个元素最多的，设这个元素最多的“好”子集为M0，它的元素个数为r，显然只需证r≥6。
如果r≤5，由于M0是元素个数最多的“好”子集，所以在M0中未出现过的20－2r名选手之间互相没有比赛。
否则，与M0的最大性矛盾。这就意味着，这20－2r名选手所参加的比赛一定是同前2r名选手进行的。
由于每名选手至少参加一场比赛，所以除了M0中的r场比赛之外，至少还要进行20－2r场比赛。
因此，总比赛场数至少为r＋20－2r＝20－r≥15，
与总比赛场数为14场矛盾。于是，r≥6，问题得证。
例27 平面上任意n个点，其中无三点共线，无四点共圆。证明：这n个点中存在3个点，过此3点作一个圆，使得其余n－3个点全部在圆内。(www.xing528.com)
思考 过任意两点有一条直线，由于点的个数有限，因此存在一条直线AB，使得其余的n－2个点都在AB的同侧，这n－2个点中的每一个点都与A，B确定一个圆，所求的那个圆应当是“最极端”的圆。
事实上，因为无四点共圆，所以其余n－2个点对线段AB的张角互不相同。
其中应有一个点P使得∠APB为最小。
再过A，B，P三点作圆，此圆对任意不同于点P的已知点Q，都有∠AQB＞∠APB，
从而点Q在圆PAB的内部。又由于点Q的任意性，所以除A，B，P三点外的其余n－3个点，全部在圆PAB的内部。
例28 从1，2，…，1 000中任取k个数，则所取的k个数中一定存在可构成三角形边长的三个数，求k的最小值。
思考 取a1＝1，a2＝2，an+2＝an+1＋an，n＝1，2，3，…，
得集合I＝｛1，2，3，…，1 000｝的子集A＝｛1，2，3，…，987｝，
其中987＝a15，而a16＝a15＋a14＝987＋610＝1 597＞1 000，则a16∉I，
故任取15个数不能保证存在“三角形数”，因此k≥16。
事实上，设b1＜b2＜…＜b16是从I中任取的16个数，并假设其中不存在“三角形数”。
因为b1≥1，b2＞2，b3＞3，则b3≥a4＝5，
又设bi≥ai，则bi+1≥ai+1，否则，bi+1＜ai+1＝ai＋ai-1≤bi＋bi-1，
则bi-1，bi，bi+1构成“三角形数”，矛盾。
则b15≥a15＝987，b15≥a16＝1 597，矛盾。
所以b1，b2，…，b16中必有“三角形数”，k的最小值是16。
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