例5 证明：不存在这样的两个既约分数，它们的和与它们的积都是整数。
所以既约分数＝整数（矛盾）。
所以原命题成立。
例6 求证：在0与1之间存在无穷多个有理数。
证明 假设在0与1之间的有理数仅有n个：a1，a2，…，an，
根据有理数与有理数之积仍为有理数，便可得到1个与a1，a2，…，an都不相同的有理数p＝a1·a2·…·an。
由于0＜ai＜1（i＝1，2，…，n），则0＜p＜1，
说明在0与1之间至少存在n＋1个有理数，与仅有n个有理数的假设矛盾。
故在0与1之间存在无穷多个有理数。
例7 证明：不存在这样的真分数，用它的分母与分子的差作分子，用它的分母与分子的和作分母，所得的数和它相等。
则m（n＋m）＝n（n－m），mn＋m2＝n2－mn，
m2＋2mn＋n2＝2n2，（m＋n）2＝2n2，
因此，不存在满足要求的真分数。
例8 试证：双曲线2x2－5y2＝7上不存在格点。
证明 假设双曲线上有格点，则方程2x2－5y2＝7有整数解。
由于5y2＝2x2－7，所以y是奇数。
设y＝2m＋1（m∈Z），则2x2＝5y2＋7＝5（2m＋1）2＋7＝2（10m2＋10m＋6），
则x2为偶数，x也为偶数。
设x＝2n（n∈Z），则8n2＝4（5m2＋5m＋3），
则2n2＝5m2＋5m＋3，2n2－3＝5m（m＋1），
推出奇数＝偶数。矛盾。
所以，上式不成立，即方程无整数解。
因而所给双曲线上不存在格点。
例9 求证：不存在这样的整数，将它的首位数字移到末位之后，得到的新数是原数的8倍。
证明 设k＝anan-1…a1a0是满足条件的正整数，
则k＝an×10n＋an-1×10n-1＋…＋a1×101＋a0，
所以8k＝8an×10n＋8an-1×10n-1＋…＋8a1×10＋8a0， ①
又因为k满足8k＝an-1×10n＋an-2×10n-1＋…+a1×102＋a0×10＋an， ②
所以8an×10n＋8an-1×10n-1＋…＋8a1×10＋8a0＝
an-1×10n＋an-2×10n-1＋…＋a1×102＋a0×10＋an， ③
所以2（an-1×10n-1＋an-2×10n-2＋…＋a1×10＋a0）＝（8×10n－1）an，
则有2∣an（符号“｜”表示整除），
由此知an＝2，4，6，8，
所以8an＝16，32，48，64，
由③知，8an≤an-1，而0≤an-1≤9，矛盾。
所以，不存在这样的整数，本题结论成立。
例10 设f（x），g（x）是［0，1］上的实值函数，证明：存在x0，y0∈［0，1］，使得
证明 假设这样的x0，y0不存在，则对一切x，y∈［0，1］均有
特别地，取数对（0，0），（0，1），（1，0），（1，1）代入②，得(www.xing528.com)
从而有1＜1，矛盾。
这一矛盾表明：存在x0，y0∈［0，1］使得①式成立。
思考 假设存在正整数数列｛an｝满足题意，记bn＝an+an-1（n≥2），
由an为正整数，故对任意的正整数n≥2，bn也为正整数，且当n≥3时，数列｛bn｝严格单调递增。
而bn＋bn-1＝（bn+1－bn）（bn+1＋bn）≥bn+1＋bn，则bn-1≥bn+1，
与数列｛bn｝严格递增矛盾。
故不存在满足题意的正整数数列｛an｝。
例12 （中国北方数学奥林匹克竞赛）若将集合S＝｛1，2，3，…，16｝任意划分为n个子集，则必存在某个子集，该子集中存在元素a，b，c（可相同）满足a＋b＝c，求n的最小值。
注：若集合S的子集A1，A2，…，An满足下列条件：
则称A1，A2，…，An为集合S的一个划分。
思考 首先，当n＝3时，假设存在集合的划分不满足条件，于是必有一个子集至少有6个元素（3×5＋1），不妨设为A＝｛x1，x2，…，x6∣x1，x2，…，x6｝，
则x6－x1，x6－x2，…，x6－x5∉A，其中3个元素属于另一个子集合（2×2＋1），
设x6－xi，x6－xj，x6－xk∈B（i≤j≤k≤5），
则xj－xi，xk－xj，xk－xi∉A∪B，但也不能均属于第3个集合，矛盾。
故n＝3满足条件。
其次，当n＝3时，划分：｛1｝，｛2，3｝，｛4，5，6，7，16｝，｛8，9，10，11，12，13，14，15｝，不满足题目条件。
综上所述，nmax＝3。
例13 （IMO）设正整数d不等于2，5，13。证明：在集合｛2，5，13，d｝中，可以找到两个不同的元素a，b，使得ab－1不是完全平方数。
证明 由于2×5－1＝32，2×13－1＝52，5×13－1＝82，
因此只需证明：2d－1，5d－1，13d－1不都是完全平方数。
（反证）若上面3个都是完全平方数，设
2d－1＝x2，①
5d－1＝y2，②
13d－1＝z2。③（x，y，z∈Z+）
由①知，x是奇数。设x＝2n－1，代入①得2d－1＝4n2－4n＋1，d＝2n2－2n＋1，
d是奇数。
又由②③知，y，z均为偶数。设y＝2p，z＝2q代入②③相减并除以4，得
2d＝q2－p2＝（q＋p）（q－p），
因为2d是偶数，则q2－p2是偶数。
p，q同奇偶，则q－p与q＋p都是偶数，2d是4的倍数。
d是偶数，与前面推出d是奇数矛盾。命题得证。
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