培养创新思维：数学教育的认识实践

我国儒家学说的创始人孔子曾经说过：“学而不思则罔，思而不学则殆。”又说：“举一隅而不以三隅反者，则不复也。”由此可见，“反思”即“举一反三”的衍生。

反思，就是在解决数学问题以后，在得到了一种解（证）法之后，对解题的全过程进行自觉、深入、反复的思考，再看一看，想一想。如梳理解题过程，检查逻辑有无漏洞，思考解法是否正确，有无更好的解法，本解法有什么特点，还能应用于什么地方，能否将问题推广，能否将条件变化获得新的命题，这些新命题是真或是假。思考做错的原因，是知识掌握不准确，还是解题方法的偏误；是审题不清，还是计算失误；等等。

反思，既是数学教师教学中的重要环节，又是培养学生创新思维的沃土，只要细心耕耘这片沃土，就能产生意想不到的收获。加强反思训练，一是有助于防止学生惯性思考偏误；二是有助于学生在数学思维中不受一解、一法、一式的限制，拓展思路，养成多向思维的习惯，培养思维的灵活性；三是有助于通过联想把与此相关的知识、方法联系起来，进而扩大和加强数学知识的联系网络，起到举一反三的作用；四是有助于发现新的方法和技巧，借助已知到未知，发现数学真理。如通过反思发现解题中的逻辑性错误。

例3　（全国高考数学理科）设c，d，x为实数，c≠0，x为未知数，讨论方程

在什么情况下有解；有解时求出它的解。

学生这样解：

如果让学生认真反思上述解法，便不难发现问题，即高考解题中典型的“会而不对，对而不全”的“老大难”问题，其错误主要表现在逻辑上。

一是将Ⅰ式变为Ⅱ式时，两者不同解。对数的底除了大于0外，还要不等于1，因而存在增根的可能，而且当1－d＝c时，果然有增根x＝1。(www.xing528.com)

二是解题步骤不完整。解方程的过程实质上是求必要条件的过程。对于本题中的超越方程，由于没有同解原理作保证，检验是必不可少的。题中“什么情况下有解”问的是“充要条件”。因此，要得到本题的完整解法，还应补充三点：

第一，在Ⅱ式中补上x≠1；

第三，将上述解代入原方程检验。