培养数学发散思维的实践成果

数学思维按照不同标准、不同角度，可划分为不同类别。根据思维指向性的不同，思维可分为发散思维和集中思维；根据思维过程是否遵循一定的逻辑规则，可将思维分为分析思维（逻辑思维）和直觉思维。在此我们着重谈谈对数学发散思维能力的培养。

发散思维能力是一种展开性的思维方式，它是根据已知信息，从不同角度向着不同方向思考，从多方面去寻求问题的多种解答或提出新见解。在数学教学中培养学生大胆设想、敢于探索、勇于立异的发散思维，是当前数学教学改革中的一个重要课题。^[2]

（1）加强“双基”教学，提高学生数学知识水平，是培养学生发散思维能力的基础^[3]

发散思维的展开，必须建立在牢固掌握基本知识和熟练掌握基本技能的基础上。那种把加强基本技能的训练和培养发散思维能力对立起来的看法，是不符合教学实际的。事实证明，学生的基本技能技巧越熟练，思维发散点的起点也越高，与所探求的结论的距离就越小。

（2）实现发散思维的“四种机智”，是培养学生发散思维能力的重要途径

①发散机智。

在一个问题面前尽可能地提出多种设想、多种解答和多个答案，思维向多方面发散，这就是发散机智，它主要能实现或增强发散思维的流畅性。数学中的一空多填、一式多变、一题多问、一题多思、一题多解、一题多证等形式的训练都可以培养学生的发散机智。

例1　设x＞－1，且x≠0，n是不小于2的整数，则有（1＋x）n＞1＋nx。

这是著名的伯努利不等式，是一个有重要应用价值的不等式，不仅可用数学归纳法进行证明，而且可以借助几何平均数不大于算术平均数的重要不等式得出结论；不仅可用初等的方法进行证明，而且可以借助微积分的基本知识和基本技巧导出所论结果。证明方法可列若干种，是一题多证的好题目。

②换元机智。

一般事物的质和量都是多种因素决定的，如果改变其中某一因素，就可能产生新的思路，换元机智便是如此，它主要能实现和提高发散思维的变通性。在教学中，我们可以使用变量替换的方法和应用不同的知识解决同一问题（如用代数知识解几何题，用三角知识解代数题，用微积分知识解极值和面积、体积题等），来提高学生的换元机智。

例2　（美国数学邀请赛）设a，b，c，d都是正整数，且a5＝b4，c3＝d2，c－a＝19，求d－b。

这是第3届美国数学邀请赛试题，题目中4个未知数的3个方程，一般属于不定方程，直接求解不易。对此，仔细观察题设，寻求一条解题途径：

则由c－a＝19，有y2－x4＝19，即（y＋x2）（y－x2）＝19。

从而求得d－b＝757。

③转向机智。

思维在某一方向受阻时，马上转向另一方向，这就是转向机智。它主要也是实现或提高发散思维的变通性。在教学中，从不同角度解答问题或应用逆向思维的方法求得结果等，均可培养学生的转向机智。

显然，直接证明困难，转换角度，证其倒数满足要求。(www.xing528.com)

其倒数也不可约，从而结论成立。

④创优机智。

所谓创优机智，就是千方百计寻求最优解法。这种机智主要能实现或提高发散思维的独特性。在数学中，我们可以通过寻找题目的简便解法、反常解法或独特解法来培养学生的创优机智。

例4　（鸡兔同笼问题）一个笼子里有若干只鸡和兔子，它们共有50个头和140条腿，笼中鸡、兔各有多少只？

解　本题有多种解法，一可采用试探法，列出鸡、兔的头、腿的对应数值表，再根据变化情况找出鸡、兔的只数；二可应用代数法，根据题意列方程求解；三可设想每只鸡用一条腿站着，每只兔子用两条腿站着，这样共有70条腿，而70这个数中，鸡的只数只算了一次，兔子的只数算了两次，故70-50＝20就是兔子的只数，所以鸡的只数为50-20＝30。显然，最后这种解法简便而独特。

例5　四根管子通向水池。同时打开甲、乙、丙三管，水池12分钟注满；同时打开乙、丙、丁三管，水池15分钟注满；同时打开甲、丁两管，水池20分钟注满。如果四根管子同时打开，水池多少分钟注满？

值得一提的是：在思维过程中，上述“四种机智”常常交织在一起。事实上，数学中的某些题目能培养出学生多种机智，如著名的勾股定理的多种证法即是如此。

（3）多方向练习、多角度思考、多层次变化，是培养学生发散思维能力的有效途径

通过一个题设、多种不同的解法的这类题目让学生进行多方向练习，可以培养学生思维的深度、广度和灵活度；通过一题多解的这类题目让学生从多角度思考，可以培养学生思维的流畅性、变通性和独特性；通过同一道习题让学生多层次变化练习，可以培养学生的思维灵活性，提高发散思维能力。