培养学生创新思维：求异为核心|数学教育实践实证

所谓求异，就是“不同、变异、奇异”。不同，就是对数学问题的不同看法、不同解法、不同证法和不同的表达方式；变异，就是在已有题目的基础上加以变化得出另外的问题，或把问题推广；奇异，就是把数学知识灵活运用于实际问题，或提出不常见的公式和性质，或给出巧妙而独特的解法，使人感到真是“不寻常”。当然，学生所能做到的或所能得到的结果可能是初步的、浅易的，但追求求异思维，对他们来说就具有了创造因素，可能产生开发创新思维潜能的结果。

不同的人解答同一道试题的思维过程或许有所不同，这与解题者的认识、能力、经验以及试题的特点有关。有的试题，就是同一个人，也可能从不同的思路出发，运用已知条件和结论，寻求知识的内在联系，得出不同的解法或证法。因此，一题多解或多证是存在的。事实上，每年的中考题、高考题、初中竞赛题、高中竞赛题、国际数学奥林匹克题等，都有不少的数学工作者在从事一题多解或多证的研究，得到了多种新颖、独特、巧妙的解法。如：1990年全国高考数学理科第19题。

函数y＝sin xcos x＋sin x＋cos x（x∈R）的最大值是____________。

对这道试题，或将所给函数表达式直接变形，运用三角知识直接求解；或将函数表达式变形后运用基本不等式、柯西不等式求解；或对函数表达式中的三角函数作代换后求解；或利用三角函数的图像，采取几何法求解等，可以有多种不同的解法。

“探索是教学的生命线”，这是心理学家布鲁纳的一句名言。不少数学教师在课堂上让学生寻求一题多解，就是给学生以时间和空间进行探索，也是学生力所能及地巩固知识、活用知识、发展知识、发挥主观能动性的过程。实践表明，探索一题多解是培养学生创新思维的有效手段。

唯物辩证法告诉我们，运动和发展是一切事物的本质属性。数学“变”的本质为变式教学提供了可能和依据。通过“变式”的教学可使学生认清数学本质特征，受到良好的创新思维训练。四川省绵阳市教育科学研究所曾就“初中数学变式教学”进行了颇有成效的研究，明确了变式的含义，提出了变式教学的概念，总结了变式教学的原则，提炼了变式教学的动态教学环节，形成了变式教学的四种重要课型和课堂教学评价量表，初步在市内建立了变式教学的推广机制。

数学教学中，逻辑思维的成分占绝大部分，形成了一套严密规范的推理系统，这对培养学生的思维能力是有益的。但是，如果凡事都要经过严密推理，便在一定程度上束缚了学生的手脚。因此，我们要鼓励学生打破常规，超越一般，为创新插上翅膀。如：第24届国际数学奥林匹克竞赛第6题。(www.xing528.com)

设a，b，c是三角形的三边长，求证：a2b（a－b）＋b2c（b－c）＋c2a（c－a）≥0。

此题有多种证法，有些证法（如换元法）也较简便。但是若将原不等式左边变形为：

a（c－b）2（b＋c－a）＋b（a－b）（a－c）（a＋b－c）。

由于原式左边是轮换对称式，不失一般性，可设a≥b，a≥c，故原不等式成立。

上述证法为原西德选手所采用，由于证法独特，评委会授予该选手特别奖。