初等数学与竞赛数学在数学教育中的应用

随着国内外各级各类数学竞赛活动深入而持久地开展，竞赛数学在初等数学基础上应运而生。

竞赛数学是一门特殊的学科，它具有四个基本特征：一是位于中间数学，二是邻接研究数学，三是展示艺术数学，四是构成教育数学。所谓位于中间数学，是指它的内容介于中学数学与大学数学之间，介于学校数学与研究数学之间，介于严谨数学与趣味数学之间。所谓邻接研究数学，是指竞赛试题内容的新颖性和方法的灵活性。所谓展示艺术数学，是指它把现代数学的内容与趣味性的陈述、独创性的技巧结合起来，充分展示了数学的统一美、对称美和奇异美。所谓构成教育数学，是指它以提高学生学习数学的兴趣、促进中小学数学教学改革、及早发现和培养人才为根本目的，以解决问题为基本形式，以竞赛数学为主要内容，坚持普及与提高相结合的原则，开展较高层次的基础教育、开发智力的素质教育、生动活泼的课外教育、现代数学的认知教育，凸显了它的教育价值。

竞赛数学是一门对学生进行素质教育的基础学科。这里的“基础”有两重含义：一是竞赛数学知识是学习其他许多现代科学技术的基础；二是学生在学习竞赛数学的过程中，数学思维能力和数学思维方法都能得到很大程度地锻炼和提高，这些思维能力和方法也是学习其他应用科学和专业技术所不可缺少的。同时，学生要想在数学竞赛中取得优异成绩，不但需要掌握大量的数学知识，而且还必须有很强的解决问题的能力，因此培养数学尖子生的工作实质上是一种典型的素质教育。

竞赛数学是一门培养学生创新思维的数学学科。综观国内外数学竞赛试题，不难发现它具有难度大、题型新、知识面广、解法巧妙等特点。难度大，是指试题的内容是在学生课内所学知识的基础上加深加宽的，在国际数学奥林匹克竞赛中，规定4.5小时做三个题，可想试题之难。题型新，是指试题形式往往有别于学生平时考试所见到的题型。知识面广，是指它的内容虽不包括高等数学，但其中已有高等数学中某些常见的思想方法。不能完全等同于中学数学教材的内容，它包含着更广泛的专业知识。解法巧妙，是指解答试题需要更加灵活的思维和技巧，例如国际数学奥林匹克竞赛中的一些试题，参赛者如果思维敏锐，也可用最基本的方法在很短时间内化难为易，迎刃而解。针对上述特点，我们在竞赛数学教学中，必须创新教学模式，必须探究解题思维方法。

在多年的竞赛数学教学中，我们构建了一种新的“置疑—反思—再创”的教学模式。所谓“置疑”，就是根据教学的需要，恰当而巧妙地设置相关的疑难问题，注重培养学生的问题意识，为学生创新思维的开发奠定良好的基石。所谓“反思”，就是在得到一种解（证）法之后，能对解题的全过程进行自觉、深入、反复的思考，进一步探讨解题过程，弄清来龙去脉，查看逻辑上有无漏洞、解法是否正确，思考本解法的特点、有无更好解法、能否举一反三或推而广之、能否变换条件获得新的命题以及新命题的真假，辨析错误类型及原因等。所谓“再创”，就是用荷兰著名数学家弗赖登塔尔“再创造”的教学原则来进行竞赛数学的教学，要求教师把“教”转换为“学”，把教师的活动转换为学生的活动，充分发挥学生的主体作用，让学生能提出自己的思想和认识，呈现人人畅所欲言的课堂氛围；要求教师把感觉效应转换为运动效应，把“讲数学”转换为“创造数学”，为学生提供自由创造的广阔空间，鼔励学生不断再创造，让学生张开数学想象的翅膀任意翱翔。实践表明，通过置疑提出问题，通过反思转化问题，通过类比、联想、归纳再创问题，通过推演解决问题，是在竞赛数学教学中有效培养学生创新思维的良好教学模式。

在多年的竞赛数学教学中，我们运用了“看—比—凑”这种新的解题思维方法。所谓“看”，就是从文理、事理、数理三个维度看懂竞赛题目的内容，看清试题的条件、结论，式子的结构，图形的特点等，从而“看”出：“这条辅助线为什么要这样作”“为什么要构造这个图形”“为什么要构造这个式子”“你是怎样想到这种解法的”等，因此“看”是解题的基础和前提。所谓“比”，就是比较，在看懂竞赛题目的基础上，将题目的条件、结论与所学的相关公理、定义、定理、公式、法则等进行比较，发掘它们之间的内在联系，找出解题方法，因此“比”是解题的重要途径。所谓“凑”，就是配凑。配凑法是数学中恒等变形常用的方法，其思路是在解题过程中，对某些数学问题，同时给式子的分子、分母乘以同一个不等于零的式子；或者给式子加、减同一项等，从而导向问题的最后解决。怎样才能巧妙而恰当地“凑”，不仅需要扎实的基础知识、基本技能和数学基本思想，还需要善于“看”和“比”，因此“凑”是解题基本而重要的技巧。实践表明，在给研究生、本科生、高中生、初中生和小学高年级学生的竞赛数学教学中，运用“看—比—凑”的解题思维方法，都收到了很好的教学效果，受到师生们的一致好评。

中国科学院裘宗沪教授指出，早在20世纪50年代，以华罗庚教授为代表的我国老一辈数学家就十分重视培养青少年优秀数学人才，倡导并组织了多次数学竞赛活动，吸引了大批数学爱好者参加，对我国数学人才的成长和数学研究的开展做出了卓越的贡献。近几十年来，在中国数学会的领导和组织下，各级各类数学竞赛活动蓬勃开展，培养了不少尖子学生，中国国家队在国际数学奥林匹克竞赛中也取得了举世瞩目的成就！

【注释】

[1]康纪权，张彦春.知识经济对数学教育理念的影响［J］.四川师范学院学报（自然科学版），2003（2）：245-247.

[2]华国栋.如何做一名研究型教师［N］.中国教育报，2002-10-23（4）.

[3]王梓坤.今日数学及其应用［J］.自然辩证法研究，1994（1）：3-12.

[4]盛连喜.“尊重的教育”的基点与内涵［N］.光明日报，2001-01-06（3）.

[5]秦言.知识经济时代［M］.天津：天津人民出版社，1986.

[6]（英）Kline M.Mathematics in Western Culture［M］.Oxford：Oxford University Press，1953.

[7]Smorynski C.数学——一种文化体系［J］.蔡克聚，译.数学译林，1988（3）：249.

[8]康纪权，邓鹏，汤强.初等数学研究概论［M］.北京：科学出版社，2010.

[9]（日）米山国藏.数学的精神、思想和方法［M］.毛正中，吴素华，译.成都：四川教育出版社，1986.

[10]康纪权.试论培养学生的创新思维［J］.数学教学通讯，2000（4）：4-7.

[11]谭光全.论数学的教育功能［J］.川北教育学院学报，2001（3）：47-49.(www.xing528.com)

[12]高明，康纪权.浅析数学的文化价值［J］.四川职业技术学院学报，2003（3）：26-27，35.

[13]郑毓信等.数学文化学［M］.成都：四川教育出版社，2000.

[14]张奠宙.数学教育学［M］.南昌：江西教育出版社，1991.

[15]齐民友.数学与文化［M］.长沙：湖南教育出版社，1991.

[16]杨孝斌，康纪权.数学学习评价方式对数学教与学的影响及启示［J］.四川职业技术学院学报，2009（3）：75-76.

[17]刘兼，孙晓天.全日制义务教育数学课程标准（实验稿）解读［M］.北京：北京师范大学出版社.2002.

[18]杨孝斌，康纪权.数学学习评价方式对数学教与学的影响及启示［J］.四川职业技术学院学报，2009（3）：75-76.

[19]郑毓信.考试高压下的中国数学教育：现状与对策［J］.数学通报，2007（5）：23-27.

[20]冯卫东.新课程理念下中考数学考试评价改革的六大亮点［J］.中学数学研究，2006（2）：11-14.

[21]田仕芹，康纪权.中学数学教育中的德育评价研究［J］.四川职业技术学院学报，2003（2）：61-64.

[22]高德毅，宗爱东.课程思政：有效发挥课堂育人主渠道作用的必然选择［J］.思想理论教育导刊，2017（1）：31-34.

[23]班开华.现代德育论［M］.合肥：安徽人民出版社，1995.

[24]中华人民共和国教育部.初中数学教学大纲［M］.北京：人民教育出版社，2000.

[25]中华人民共和国教育部.高中数学教学大纲［M］.北京：人民教育出版社，2000.

[26]赵承福等.中小学教育评估［M］.济南：山东教育出版社，1990.

[27]林昌华.学校教育评价［M］.成都：四川大学出版社，1990.

[28]侯光文.教育测量与教学评价［M］.济南：明天出版社，1991.

[29]康纪权，康杰.竞赛数学解题思维方法［M］.北京：科学出版社.2021.