【摘要】：牛顿下山法是牛顿法的一种变形，它是为减弱牛顿法对初始解近似值x0 的限制而提出的一种算法。步骤4：若| f|≥|f|，则λ = 0.5λ，返回到步骤3；否则，向下进行。步骤5：若|x1-x0|＜E1 且|f|＜E2，输出x1 和f，计算结束；否则，x0 = x1，返回到步骤2。步骤6：输出“牛顿下山法已迭代M 次，没有得到符合要求的解”，停止计算。
牛顿法只有局部收敛性，采用牛顿法求解非线性方程的根时，对初始值的选取要求较高，如果初始解近似值x0 偏离准确解x*较远，则牛顿法可能发散。牛顿下山法是牛顿法的一种变形，它是为减弱牛顿法对初始解近似值x0 的限制而提出的一种算法。
牛顿下山法迭代公式为
若给定f(x) = 0 的有根区间[a, b]，则可取其中点为x*的初始近似值，即x0 = (a+b)/2。
用牛顿下山法求解非线性方程f(x) = 0 根的算法步骤如下：
步骤1：输入方程根附近的初始解x0、解精度E1 和方程精度E2、最大迭代次数M。
对于K = 1, 2, …, M，执行步骤2 至步骤5。(www.xing528.com)
步骤2：计算f(x0)和f ′(x0)，取λ = 1。
步骤3：计算 x1 = x0-λf ( x0)/ f ′( x0)和f ( x1 )。
步骤4：若| f(x1)|≥|f(x0)|，则λ = 0.5λ，返回到步骤3；否则，向下进行。
步骤5：若|x1-x0|＜E1 且|f(x1)|＜E2，输出x1 和f(x1)，计算结束；否则，x0 = x1，返回到步骤2。
步骤6：输出“牛顿下山法已迭代M 次，没有得到符合要求的解”，停止计算。
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