解非线性方程f(x) = 0 的牛顿法是将非线性方程逐次线性化的一种近似方法，其最大优点是在方程f(x) = 0 的单根附近具有平方收敛。设x*是f(x) = 0 的根，选取x0 作为x*的近似值。过点(x0, f(x0))作曲线y = f(x)的切线L1：y =f ( x0)+f ′( x0 )(x -x0)，L1 与x 轴交点的横坐标为 x1 = x0 -f ( x0)/ f ′( x0)，称x1 为x*的一次近似值；过点(x1, f(x1)) 作曲线y = f(x)的切线L2：y =f ( x1)+f ′( x1 )(x - x1)，L2 与x 轴交点的横坐标为 x2 = x1 -f ( x1)/ f ′( x1)，称x2 为x*的二次近似值；重复以上过程，得x*的近似值序列{ xk }。如果序列{ xk }收敛，则xk → x*（k→∞）。
若给定f(x) = 0 的有根区间[a, b]，则可取其中点为x*的初始近似值，即x0 = (a+b)/2。
牛顿法具有二阶收敛速度，其求解非线性方程根的迭代过程如图1.8 所示。
图1.8 牛顿法迭代求解过程
牛顿法迭代公式为
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用牛顿法求解非线性方程f(x) = 0 根的算法步骤如下：
步骤1：输入方程根附近的初始解x0、解精度E1 和方程精度E2、最大迭代次数M。
对于K = 1, 2, …, M，执行步骤2 和步骤3。
步骤2：计算f(x0)和f ′(x0)， x1 = x0 -f ( x0)/ f ′( x0)。
步骤3：若|x1-x0|＜E1 且|f(x1)|＜E2，输出x1 和f(x1)，计算结束；否则，x0 = x1，返回到步骤2。
步骤4：输出“牛顿法已迭代M 次，没有得到符合要求的解”，停止计算。
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