数学创造性思维培养与实践探索

一、创造性思维的涵义及本质

创造性思维可以理解为主体在强烈的创新意识驱使下，通过发散思维和集中思维，运用直觉思维和逻辑思维，借助形象思维和抽象思维等思维方式，对头脑中的知识、信息进行新的思维加工组合，形成新的思想、新的观点、新的理论的思维过程。通俗地说，凡是突破传统习惯所形成的思维定势的思维活动，都可以称为创造性思维。创造性思维是一种突破常规的思维方式，它在很大程度上是以直观、猜测和想象为基础而进行的一种思维活动。这种独特的思维常使人产生独到的见解和大胆的决策，获得意想不到的效果。

人们对创造性思维的某些方面认识还没有完全统一。我认为，理解创造性思维的涵义还要注意以下几点：第一、创造性思维是复杂的高级思维过程，它并不是脱离其它思维的另一种什么特殊的思维。第二、创造性思维是多种思维有机结合的产物，而绝不是多种思维机械相加的结果。而且，在不同的创造性思维活动中，总是以某一种思维为主导而进行的。第三、创造性思维固然有它独有的活动规律，但它也必须遵循其它思维的活动规律。因而，可以说创造性思维本质上就是各种不同的思维方式的对立统一。

1.创造性思维是集中思维和发散思维的对立统一

集中思维是指人们解决问题的思路朝一个方向聚敛前进，从而形成唯一的、确定的答案。发散思维则是指人们解决问题时，从某一特定目标出发，思维向外辐射，沿着各种不同的途径和方向，从多角度、多方面思考、想象，从而探索出多种多样的设想和解决问题的办法，即产生出大量的独特的新思想。因此不少人认为，创造性思维只包含发散思维，这是很不完全的。发散思维可以使人的思路活跃，提出各种各样的待选方案，特别是它能提出出乎意料的独特见解。然而，如果仅停留在发散思维阶段，那么就会使人犹豫不决，不易抓住问题的本质和关键，达不到创造的目的，所以创造性思维还应包含集中思维，是发散思维和集中思维的对立统一。这种对立统一关系主要表现在以下几方面：第一，只有集中了才能发散。由于问题的产生大多是集中思维的产物，所以，集中是为了更好地发散;第二，只有发散了才能进一步集中。人们为了寻求独创性的设想，常常任自己的思想自由发散，但是，发散的结果并不都是有价值的，往往有相当多的谬误，所以，大量发散还要通过集中导出正确的结论;第三，发散度高，集中性好，创造水平才会高。我国教育长期以来较重视集中思维的培养，对发散思维重视不够，今后应对发散思维的培养予以足够的重视。

2.创造性思维是逻辑思维和直觉思维的对立统一

逻辑思维是严格遵循逻辑规律，逐步分析与推导，最后得出合乎逻辑的正确答案和结论的思维活动。直觉思维是一种没有完整的分析过程与逻辑程序，依*灵感和顿悟，快速地作出判断和结论的思维活动。例如大陆漂移学说的创立者魏格纳，躺在病床上观察墙上的世界地图突发奇想：大西洋两岸大陆轮廓的凸凹竟如此吻合，会不会原来就是一个整体呢?魏格纳的这种依*灵感和顿悟的思维方式就是直觉思维。直觉思维可以创造性地发现新问题、提出新概念、新思想、新理论，是创造性思维的主要形式。

当然，逻辑思维与直觉思维相互促进、相互联系，逻辑思维是直觉思维的基础，直觉思维是高度成熟的逻辑思维的产物。没有直觉思维做先导，难以提出新问题、新设想，可以说，直觉思维在创造活动中起着决定性作用。但新思想、新设想提出之后，仍需要用逻辑思维进行推理和论证，因此，我们不能排斥或贬低逻辑思维在创造活动中的作用。事实上，整个创造性思维的发展都是在逻辑思维和直觉思维的交*状态下进行的。

3、创造性思维是抽象思维与形象思维的对立统一

抽象思维是舍弃非本质属性，抽取出事物本质属性的思维过程，形象思维是凭借事物的具体形象和表象的联想、想象来进行思维的活动。形象思维在创造性思维活动中所起的作用在于创造想象参与思维过程，使思维活动能够结合以往的经验，在想象中形成创造性的新形象，提出新的假设，创造想象参与思维过程是创造活动顺利开展的关键。

抽象思维和形象思维相辅相承，缺一不可，形象思维是抽象思维的基础，抽象思维是形象思维的发展。在基础教育阶段，从小学、初中到高中，学生的思维方式逐步由形象思维为主变为抽象思维为主，因此，创造性思维能力的培养是基础教育不可忽视的内容。

由以上分析可见，发散思维、直觉思维和形象思维在创造活动中起着非常重要甚至是决定性的作用，但创造性思维也离不开集中思维、逻辑思维和抽象思维，创造性思维正是这些不同思维方式的对立统一。

二、创造性思维的培养意义

综观中外历史上的科学家和发明者，他们往往兴趣广泛、思路敏捷，具有独到的创造性思维能力。如飞机上天、潜艇入海、飞船登月、现代仿生学的产生、相对论的创立、克隆羊的诞生……所有这些发明创造都是创造性思维的结果。正如1997年诺贝尔物理学奖获得者朱棣文所说的那样：“科学的最高目标是要不断发现新的东西，因此，要想在科学上取得成功，最重要的一点就是要学会用与别人不同的思维方式、别人忽略的思维方式来思考问题，也就是说要有一定的创造性。”

正是具备了足够的创造性思维能力，人类才产生了永不停息的创造活动，从而推动着历史进步。试想若无第一件生产工具就无人猿区别;无冶铁技术就无农业文明时代的到来;无蒸汽机、机器制造就无工业文明时代的到来;若无第二次世界大战后出现的新的科技革命浪潮，人类就不会如此迅速地奔向信息社会。

现在，知识经济时代正向我们走来，国际竞争日趋激烈，科技发明与创造层出不穷。我国是一个发展中国家，要跻身于世界发达国家行列，培养大批具有创造能力的人才是当务之急。****总书记强调指出：“创新是一个民族进步的灵魂，是国家兴旺发达的不竭的动力……一个没有创新能力的民族，难以屹立在世界之林。”第三次全国教育工作会议尤其强调“素质教育要以培养学生的创新精神和实践能力为重点”。可见，培养学生的创新精神和以创造性思维为核心的创造能力是社会发展的需要，也是人类自身发展的需要。

三、创造性思维培养的重要切入点

创造和创造思维是人类社会赖以发展的能动力量。然而，人们看到的创造性思维似乎是创造者所专有，能够普及吗?如果不能，以此作为教学的核心目标岂不是痴人说梦。我们说创造思维的可教性有两点根据：其一，人类历史的发展证明，没有创造就没有人类。人人都具有创造思维的潜在能力，创造是与人的生存融为一体的天然性的必然。其二，完善自我是人的又一天性，人人都有自我教育的需求。这两方面结合在一起，构成了双向交流的教学结构的基本框架。只是随着人的历史形态和文化形态的历史变化，创造思维的存在形式和开发条件日趋复杂化、多样化。虽然如此，在一定物质条件和文化条件下，对创造思维进行开发和培育是完全能够实现的。

1、从世界观的高度进行专业课教学

人们认识事物所表现出的循序渐进、由浅入深、由感性到理性的规律证明：大脑认识事物具有明显的层次性。思维科学又根据这些层次来划分智力层次。一般说，聪明、机灵、技巧都是大脑浅层次的思维活动，只有智慧才是深层次的活动。创新是复杂的智力活动，其思维当然是智慧型的。浅层次的活动能力可以通过一般智能教育和技术训练达到，而智慧的培养却是古今难题。根据现代思维科学的探索和论证，比较一致的看法是从哲学和基础理论上进行教学培训，就是把专业课程提高到世界观的高度进行教学。这种要求的可行性在于，任何一门学科，只要够得上理论体系的都有五大层次，即本学科的哲学体系、基础理论、应用原则、实用技术和发展史。这种构成提供了智慧教学的可能性。只要深入分析，理清层次，讲辩结合，双向交流，逐步进行，智慧教学是可以办到的。

2、培养正确的真理观(www.xing528.com)

创造性思维对真理强烈追求的愿望，可以冲破现有概念系统和习惯定势，激发出丰富的想像力和探索精神。但是，这种追求不是凭空产生的，而是来源于对现有专业和概念系统的深刻理解。尊重现有专业、吃透现有专业仍是创造性教学的必然要求。牛顿把他发展微积分的超人先见归功于前辈的积累。他说：“如果说我比别人看得更远，那是因为我站在巨人肩膀上。”(这话很有教育意义，说明任何发明创造都是在汲取和借鉴前人的既创成果的基础上而取得的。“面壁十年图破壁”，学习现有知识的目的在于创新突破，而不是抱残守缺。为此，在创造性思维教学中还要解决真理观的问题。辩证唯物主义的真理观是科学的、正确的。其基本内涵是，尊重实践，实事求是，坚信现有的一切科学成果不论多么伟大都没有结束真理，而是开辟了通往真理的道路。在实践中，还是要以客观规律作为判断是非的标准，排除主观随意性。‘

3、注重开发创造思维的动力

达尔文把影响他创造生涯的个性归结为“有强烈而多样的兴趣，沉溺于自己感兴趣的东西，深喜了解任何复杂的问题和事物”他的这段话体现了创造思维的几个动力因素：(1)强烈、多样的兴趣，而不是孤陋寡闻;(2)沉溺于兴趣，锲而不舍，不是朝秦暮楚;(3)对复杂的事物深喜研究，而不是走马观花，浅尝辄止。

关于兴趣，表面上好像源于人类好奇的探索天性，但是，它的发生不管有多少偶然条件，追溯其原始动机的本质都与生存需求密不可分。意识到需求和利益的自觉兴趣能升华为责任，成为理想追求。不自觉的兴趣表现为好奇，成为个人偏爱。因此，教学中开发创造思维的动力，应当从社会利益和个人利益的结合上，使兴趣责任化，并将其转化为自觉成分，进而增强其专注性和博采众家的主动性。竞争意识和危机感也可激励人奋发图强，进而转化为高度责任感和兴趣取向。特别是面对新世纪对国家命运和个人职业的各种挑战，尤其需要高度的责任感，并转化为兴趣取向。这点对师范院校的学生而言具有更为现实的意义，其职业道德更应当转化为对教学改革的责任和追求。

4、开发多学科的复合思维能力

创造思维的表现形式似乎显示在单个专业内部研究上，其实不然。当今世界的高科技创新成果，无一不是众多学科技术相互渗透、协作才取得的。所以，创造性思维的内涵，也是随时代的发展，由相对单一的专门研究提升为多学科协作的复合型思维的。这就要求在学科培养中提倡专博结合，从根本上扭转由课程设置单一而导致思维狭窄的局面，注重多种能力的综合开发。在学科教学中，注意培养好奇心和求知欲、观察和实验能力、归纳和概括能力、类比和猜想能力、坚持己见和吸取他见的能力，并逐步升华为系统怀疑和独立创新的研究能力。总之，创造能力的培养是全新的课题，它在素质教育中的中心地位是无可替代的。培养创造性思维是素质教育的灵魂。

四、数学创造性思维的培养

数学既能锻炼人的形象思维能力，又能锻炼人的逻辑思维能力。主体思维善于在事物的不同层次上向纵、横两个方面发展，向问题的深度和广度发展，达到对事物全面的认识。数学创造性思维，是一种十分复杂的心理和智能活动，需要有创见的设想和理智的判断。它的主要特征是新颖性、独创性、突破性。数学创造性思维是各种思维形式高度统一协调的综合性思维。为此，教师应重视在数学教学过程中，揭示数学问题的实质，帮助学生提高思维的凝练能力。在高等数学教学中，可以从以下5个方面着手，培养学生的创造性思维。

1.引导学生提出和发现问题

提出问题、发现问题是一个重要的思维环节。爱因斯坦说：“提出一个问题往往比解决一个问题更重要。”科学发现过程中的第一个重要环节是发现问题。因此，引导和鼓励学生提出问题、发现问题是很有意义的。即使经过检验发现这个问题是错误的，但对学生思维的训练也是有益的。在高等数学的教学中，教师要抓住适当的时机主动地引导、启发学生提出问题。如讲柯西中值定理的证明前，引导学生通过观察式子f(b)－f(a)F(b)－F(a)＝f′(a)F′(ζ)(a＜ζ＜b)提出问题，能否用拉格朗日中值定理来证明柯西中值定理?为什么?经过学生的思考求证，发现由拉格朗日中值公式得到的结果为f(b)f(a)＝f′(ζ1)(ba)及F(b)F(a)＝F′(ζ2)(ba)，其中的ζ1与ζ2不一定相等，因此，这种证明是行不通的。通过提出问题和解决问题，不仅加深了学生对拉格朗日中值定理的认识(定理中的ζ是客观存在的，不是任意取定的)，而且启发学生要善于从不同的方向思考问题。

2.采用启发式教学方式

培养创造性思维的核心是启动学生积极思维，引导他们主动获取知识，培养分析问题和解决问题的能力。对于数学中的问题或习题，主要告诉学生应如何去想，从哪方面去想，从哪方面入手，怎么样解决问题。例如在高等数学(上册)有这样一道题：若a0，a1，……，an是满足的实数，证明方程a0＋a1＋……＋anxn＝0在(0，1)内至少有一实根。在讲解时可以给学生设计这样几个问题：(1)证明方程根的存在性，我们学过哪几种方法?(2)每种方法的条件、结论各是什么?(3)各方法的区别是什么?(4)本题应该用哪种方法?(5)类似的题目应该怎么考虑?(6)是否可以判断根的唯一性?这样通过提问、讨论，学生不仅会证明这道题，而且类似证明根的存在性的题都会解了，起到了举一反三，事半功倍的作用。

3.鼓励学生大胆猜想

乔治·波利亚《数学的发现》一书中曾指出：“在你证明一个数学定理之前，你必须猜想出这个定理，在你搞清楚证明细节之前你必须猜想出证明的主导思想。”猜想，是一种领悟事物内部联系的直觉思维，常常是证明与计算的先导，猜想的东西不一定是真实的，其真实性最后还要*逻辑或实践来判定，但它却有极大的创造性。在高等数学教学中，要鼓励学生大胆猜想，从简单的、直观的入手，根据数形对应关系或已有的知识，进行主观猜测或判断，或者将简单的结果进行延伸、扩充，从而得出一般的结论。

比如，从(xa)’＝2x猜想到一般的(xa)1＝axa－1(a∈R)。在常系数齐次线性微分方程的求解时，根据方程的特点，猜想它可能有型如erx的解，然后代入方程，确定出特征根r，即得方程的解。又如，格林公式是用平面的曲线积分表示二重积分，在此基础上，人们猜想能否用空间的曲线积分来表示面积分呢?这种猜想导致了高斯公式和斯托克公式的产生。因此在教学中应鼓励学生进行大胆的猜想，这对于创造性思维的产生和发展有极大的作用。

4.训练学生进行发散思维

发散思维是根据已知信息寻求一个问题多种解决方案的思维方式，不墨守成规，沿多方向思考，然后从多个方面提出新假设或寻求各种可能的正确答案。发散思维是创造性思维的主导成分。因此，在高等数学教学中，应采用各种方式对学生进行发散性思维能力的培养。比如，教师在讲课时对同一问题可用不同的方法进行多方位讲解或给出不同的答案。在对知识总结时，可以从不同角度进行总结概括。如一题多解就是典型的发散思维的应用。

5.充分利用逆向思维

逆向思维是相对于习惯思维的另一种思维方式，它的基本特点是：从已有思路的反方向去思考问题。顺推不行，考虑逆推;直接解决不行，想办法间接解决;正命题研究过后，研究逆命题;探讨可能性发生困难时，考虑探讨不可能性。它有利于克服思维习惯的保守性，往往能产生某些意想不到的效果，促进学生数学创造性思维的发展。培养逆向思维的方法可从下面几个方面去做：第一，注意阐述定义的可逆性;第二，注意公式的逆用，逆用公式与顺用公式同等重要;第三，对问题常规提法与推断进行反方向思考;第四，注意解题中的可逆性原则，如解题时正面分析受阻，可逆向思考。

总之，在高等数学的教学中，要以有关知识为载体，在传授知识的同时，要有意识地渗透和突出数学思想，自觉地培养学生创造性思维能力，使学生在获得知识的同时，也学到了思考问题的方法，提高了分析问题、解决问题的能力。这也是在今后的教学中仍要不断探索，继续努力的方向。