一、提出适度“非形式化”的重要意义
形式化是现代数学的特征之一，这一点是无需置疑的。但不少数学家注意到目前我国的数学教学中存在着过度形式化的问题，往往将丰富多彩的数学的思想淹没在形式化的海洋中，因此，提出了适度“非形式化”的观点。这一观点提出的另一理由，是一些数学家提出数学研究的方式正在发生着变化。
1.数学课程和数学教学中存在着过度形式化的现象
20世纪初，以希尔伯特为代表的形式主义学派盛极一时，数学的呈现形式是从一般的集合论开始，用公理体系、逻辑演绎规则展开。希尔伯特的形式主义哲学观念，在学术上有重要的价值：数学的研究对象不是某个特定的物质形态，而是“思想材料”;数学是从所有自然现象和社会现象中抽象出来的数量规律。20世纪中叶，法国的布尔巴基学派独树一帜，认为数学就是一些结构的组合，无所谓什么实际意义。这种结构主义的哲学观，把希尔伯特的形式主义哲学观更向前推进一步。布尔巴基学派把数学整理了一番，用“结构”把数学知识梳理成一个井然有序的体系，功不可没。
但是，形式主义强调形式，结构主义把数学看成结构，其共同的问题是容易造成脱离现实。J.v.Neumann先生早在1947年就说过：“远离了它的实践的源泉之后，或者太多‘抽象’的近亲繁殖之后，数学学科就处在退化危险之中。在开始的时候，款式通常是经典的;当它有迹象表明成为巴洛克式时，那么，危险的信号就升起了。”R.Courant先生也针对此尖锐地指出：“两千年来，掌握一定的数学知识已被视为每个受教育者必须具备的智力。数学在教育中的这种特殊地位，今天正在出现严重危机。不幸的是数学教育工作者对此应负其责。数学的教学逐渐流于无意义的单纯演算习题的训练。固然这可以发展形式演算能力，但却无助于对数学的真正理解，无助于提高独立思考能力。……忽视应用，忽视数学与其它领域之间的联系，这种状况丝毫不能说明形式化方针是对的;在重视智力训练的人们中必然激起强烈的反感”。
在哲学上，哥德尔的两个不完备性定理，表明希尔伯特形式主义统一整个数学是不可能的。同时，数学在军事、经济、科学技术上的应用远远超出“结构”的限制。大约在1970年左右，世界各国的数学家把目光转向“现实世界”，关注现实的数学问题，数学应用成为数学发展的重要动力之一。这一点前面已有专门的论述。接着，数学的教育形态也跟着发生了变化。从1980年代开始，西方数学教育界提出“非形式化数学教学(informalmathematicsteaching)”的口号，要求中小学的数学教学摆脱过度形式化的束缚，主张联系学生的日常生活实际，增加数学问题的趣味性。总之，把数学呈现为学生容易接受的“教育形态”。
1949年建国之后，中国数学和数学教育受到前苏联的影响，而苏联数学学派则深受德国和法国的影响，体现在前苏联数学教材中的形式主义的观念、严格的演绎体系、纯粹的逻辑方法。几十年过去了，中国数学课程和数学教学出现了“过度形式化”的倾向。进一步，由于受考试文化的影响，数学教学中又出现了“题海战术”“题型教学”等不正常的现象。
李忠先生指出，我国中学数学课程中都是抽象的推理和繁杂的计算，不讲数学与生活的联系，不讲数学与其他科学的联系。要反思我们在课堂上所讲的所强调的是否是要紧的、真正有用的知识。当然，这不是否定学校教育，而是提醒大家要对我国的数学教育进行认真的反思。
实际上，我国一些数学家和数学教育工作者为改变这一情况，已经作出了不少努力。1993年，西南师范大学陈重穆先生发表“淡化形式、注重实质”的著名论文，对“抠字眼”、“背黑体字”、“挑起无谓的争论(0是否虚数之类)”等现象提出批评，引起广泛重视和评论。张奠宙先生对此进一步作出阐述：如果一味地讲抽象、严谨，除了把不喜欢数学的孩子们吓跑之外，并不能给数学教育带来多少好处。数学的内容如此丰富多彩，生动活泼，为什么非要众口一词地念叨“抽象”、“严谨”不可呢?适度的“非形式化”，是国际上通行的数学教育原则之一。1996年，姜伯驹提出“20世纪下半叶数学的主要发展是应用”的论断，主张用数学“平台”，反对无原则地“追求形式主义的公理化体系。”
2.数学研究的方式发生了变化，“做数学”的过程更加凸显
以往，人们对数学研究方法的描绘主要集中于利用纸、笔进行运算和证明，很难体会观察、实验、模拟、尝试、调控等活动对数学的作用，其实这些也是数学研究的重要方式。特别是计算机的出现，它向数学家提供了探索模式和检验猜测的强有力的工具，使数学家的研究方式开始发生变化。
M.Atiyah先生指出：计算机正在数学家工作的所有阶段，特别是在探索和实验阶段，提供着十分实际和有效的帮助。随着数学向纵深的发展，所遇到的原始素材也相应地会变得更加凌乱和复杂。正是计算机可以帮助我们筛选这些素材并为我们指出进一步理解和前进的道路。
W.Brown先生在谈到数学研究成果的表现形式时形象地指出：在过去，一项数学研究的成果总是一篇关于命题的证明或反驳的科学论文，现在它却可以包含一些色彩鲜艳的图案和一声充满快乐的惊呼：“看，我发现了什么!”。
丁石孙先生也指出：实际上，计算机提供了进行多次试验计算的可能性，为数学研究提供了有力的“实验工具”。
张饴慈先生认为：强调数学的发展是一个充满着观察、实验、归纳、类比和猜测的探索过程，这是十分正确的。事实上，即使在当代极抽象的数学研究领域中，人们也是通过这种“直观”的探索，得到猜想，得到方法上的启发，然后再试图给予严格的证明，这种探索是数学发展的基本动力。……实际上，没有这种探索，数学就成了符号和文字的游戏，没有任何意义。
由于计算机与数学的结合，使得实验、尝试错误、模型模拟、猜测、检验调控等已经成为当今数学家研究数学、特别是应用数学的重要方式，伴随着数学实践活动和数学实验的加强，一个基本的“做数学”的过程日益清晰，许多数学家和数学教育家都以不同的措辞描述了这一过程。著名的“美国2061计划第一阶段数学专家小组报告“中这样提到：我们看到了一个基本的数学过程的循环，它反复出现，形成了最基本的形式——抽象、符号变换和应用。这种循环不只出现在普通实验和数学实验的交界处，而且也在数学王国内部多次重复，导致了该学科更高水平的概括性，从而使它可以具有更强的效能。Freudenthal先生将这一过程称之为数学化，即数学地组织现实世界的过程。在这个”做数学“的过程中，不仅有计算或演绎，它涉及了观察、猜测、尝试、调控、估计、检验等多种方式。
二、数学课程和数学教学要做到“返朴归真”，适度的“非形式化”。
为了改变过度形式化的倾向，不少数学家提出数学课程和数学教学要做到返朴归真，适度的“非形式化”。一些数学家和数学教育家还就教材和教学中如何做到“非形式化”提出了自己的看法。
1.密切与学生生活的联系，增加趣味性
数学课程和教学要密切与学生生活的联系，增加趣味性。
王梓坤先生讲了这样一个“故事”：有一个数学教授和他的高材生都被诬告，同时要枪弊了。在临死前，监狱的看守询问他们此时最大的愿望是什么。教授首先答道，请让我最后再上一次讲台，为我的学生讲一节课吧。学生听到老师的话后，急忙说道，我的最大愿望是在老师讲课之前，马上将我处死。这当然是一个笑话，但王先生却借此说明了目前数学教学的枯燥无味。他还进一步指出：在义务教育阶段，首先要逐步启发学生的兴趣和爱好;二是要培养他有信心学。要提高数学的可读性和趣味性。
徐利治先生用轻松的语言提出了课程和教学的几个“一点”：义务教育，讲一些直观的、有趣的、与生活联系的东西就可以了。不要太难，要与学生们的实践联系得紧一点，直观的多一点，动手实验的多一点，使他们的自信心强一点，抽象的少一些。
严士健先生对教材密切联系生活的问题发表看法：教材应该结合日常生活及其它领域中的问题，举出更好的例子，更好的习题，以使学生体验数学与生活的联系，训练学生应用数学分析问题解决问题的能力。更重要的是要让学生具有应用数学的意识，真正认识到数学有用，知道哪些生活、学习或生产问题可以用数学来解决。
李忠先生指出：在教材编写上要重视使学生对数学学习感兴趣，对探索未知世界感兴趣。可以开展一些数学课外活动，使学生通过活动来理解数学的意义，让孩子通过自己的观察，从自己的角度来学习数学。
2.体现数学结论的来龙去脉
数学课程和教学要体现数学结论的“来龙去脉”，鼓励学生的探索和创造。
严士健先生多次呼吁要讲“来龙去脉”：现在我们的教材一开篇就是纯数学的内容，很少说明这些内容是哪里需要，从哪里来的，为了让学生真正理解这一点，就应该讲清这些内容的背景。要想办法生动活泼地向学生讲解数学的发展道路和数学思想的发生，使他们感到数学是有血有肉、生动有趣的，简单地说，就是要讲“来龙去脉”。(www.xing528.com)
张尧庭先生对教材的编写提出了“倒过来写”的建议：现行教材违反了认识论，先有抽象的公式，再套公式，公式不是自己总结出来的，又没有很好的理解。灌输的是死套公式的技巧，没有讲公式的演化过程。是否能倒过来写，最起码对一些重要的部分，让学生自己去演化。教材和教学要符合认知规律，从具体到抽象。我们的学生本来是很开窍的，但现在中小学教师是在做“闭窍”的工作。
冯克勤先生在讲到教学时指出：我们常常热衷于告诉学生面面俱到的知识，但不知如何用最少的语言启发学生自己学习和思考。玻尔的名言是“不教之教”，即教师只需要提出问题，引导学生如何思考。不需讲“硬件”，即知识性的原理、结论、定律和事实。需要做的只是“软件”，即与进行创造性活动有关的能力和品格，对创造活动的价值标准和态度。这种通过“不教”达到“教”的目的，可以说是教学的最高境界了。
林群先生提到国外教材的特点：国外的教材图文并茂，学生一方面读正文，一方面从图中了解证明的来龙去脉。我们的数学经常用公式说话，实际上发明的结果用图表更容易说话。伽里略习惯用图象思考，爱因斯坦擅长形象思维。创造往往源于形象思维，然后才是文字、数学语言的论证。这些发明的过程在教材中却被掩盖了。林群先生还指出：目前，教师的教学往往只是对教材的复述，没有评述，没有自己的见解，这不适应创新的要求。教师在课堂上讲的往往只是成功的研究结论，掩盖了获取结论过程中曾经经历的失败，教师应该拨开这层“迷雾”。
张筑生先生也指出：数学教育应该做的事就是让学生通过自己的参与，通过“做数学”来体验数学。应该引导学生学会用数学的方式去思考去探索，这才是最最重要的事。
3.力求返璞归真，体现数学本质
数学课程和教学要力求返朴归真。
项武义提出了教材编写的“二十字方针”：返璞归真，力求平实近人;精简实用，才能引人入胜。
张奠宙提出要努力把数学的学术形态转化为学生容易接受的教育形态。
林群先生指出：只有那些具有普遍原理的数学才是中学数学所需要的，才是现代数学发展的源泉。那些解怪题的技巧在生活中是毫无意义的，在数学中意义也不大，必须承认，对这一点的认识，数学家与一线教师有很大区别。
严士健先生指出：作为基础教育的教材，要努力做到以小寓大，以低寓高。例如，方程的思想可以这样表述：首先方程是将实际问题归结为数学问题的一个重要模型;二是建立方程后要求解方程，特别是寻求方程的一般解法;三是当求解很复杂时，或是针对某些具体问题，只要求出近似解(计算方法);四是对方程的解作定性分析。
当然，反对过度形式化，不是不要形式化。数学的形式化是数学的固有特点，形式化思想是理性思维的重要组成部分，学会将实际问题形式化，也是学生需要学习和掌握的基本数学素质。我们这里讨论的是“数学不要脱离实际”、“不要唯形式化”，以求得对数学精神实质的把握和形式化表达的动态平衡。
《标准》在研制过程中，也对这一问题进行过认真思考，并努力在有关方面得以体现。一个典型的例子就是强调了“情境”，对重要的数学内容按照“问题情境—建立模型—解释与应用”的叙述方式编排，即创设一个学生熟悉的问题情境，通过观察、实践、探索、思考、交流逐步建立这一问题的数学模型，然后运用这一模型去解释一些现象，或解决一些问题。通过上述的过程，学生将逐步掌握基本的数学知识和方法，形成良好的数学思维习惯和应用意识，提高自己解决问题的能力，感受数学创造的乐趣，增进学好数学的信心，获得对数学较为全面的体验与理解。这种“注重情境”的做法，从小学就开始贯彻。例如，在过去数的计算的教学中，一般是先学如何计算，然后再解决问题，而《标准》提倡直接从学生的生活经验出发，把学习计算与解决问题的过程结合起来，让学生亲身经历从问题情境中抽象出算式并加以解释和应用的过程，从中理解运算的意义和应用价值。
有人担心“情境”是不是会造成学生所学的“不象”数学，其实这就象上面论述的一样，适当的“非形式化”不但不会掩盖“数学”，而且会更有利于学生体会数学的本质。数学内容的形态既有展现背景、注重应用、返镤归真的一面，又有注意抽象表达和形式演绎的一面。当然，要作到二者的完美结合需要有一个长期研究与磨合的过程，要创设一个既符合学生经验，又凸显数学本质的“好”的情境，也需要我们长期的努力和积累。无论如何，“情境”是迄今为止最能反映数学来龙去脉、体现数学本质的有效载体。
结语
20世纪中叶以来纯粹数学的发展依然强劲;与此同时，数学家正在运用数学和计算机技术解决各色各样的实际问题。随着经典数学的繁荣和统一，许多新的应用数学方法的产生，特别是计算机的出现及其与数学的结合，使得20世纪中叶以来，数学与社会的联系更加直接，对社会的发展起着空前巨大的作用。
数学与计算机的结合，使得自身已经成为现代社会中一种普遍适用的技术，她有助于人们收集、整理、描述信息，建立模型，进而解决问题，直接为社会创造价值。数学不仅帮助人们更好地探求客观世界的规律，同时为人们交流信息提供了一种有效、简捷的手段。因此，数学课程应该通过丰富的客观世界中的问题，体现数学刻划世界的过程和全貌，使学生体会数学与现实世界和人类进步的密切联系。
数学在对客观世界定性把握和定量刻画的基础上，逐步抽象概括，形成方法和理论，并进行应用，这一过程除了逻辑和证明外，充满着探索与创造。计算机的出现，正在改变以往数学家主要利用纸、笔进行工作的方式，如今观察、实验、模拟、猜测、矫正和调控等等，已经成为人们应用数学的重要策略。因此，我们的教学应该让学生体会数学研究的基本方法：观察、尝试、收集信息、合情推理、建立猜想、验证与证明，这种研究方法的熏陶，将使人终生收益。
现代数学的空前发展以及对社会的突出作用势必要对基础教育阶段数学教育发生重大的影响。那么，将如何影响数学教育呢?
从数学教育的目标方面进行考虑，我们不难看出：数学广泛地运用逻辑，但不等于逻辑;数学教学要培养学生数学地思考问题，也要培养学生数学应用的意识和能力。过去不管应用、只提思维体操，甚至是只讲逻辑是不对的;同样，认为现在的课程改革只讲应用，不要数学思维和逻辑，也是一种误解。我们的目标是建立一种符合当代数学发展的本质和趋势、符合学生身心发展规律和未来需求的数学教学，它既重视数学的背景和数学的应用，也注意数学的抽象过程和证明，我们要的是整条鱼，而不是“掐头去尾的烧中段”。数学教学要全面促进学生的发展，力求使他们既能有效地应用所学知识和方法去解决日常生活、相关学科和工作中的问题，又能独立去探索、去发现;能理性地思考问题，合理地作出判断;能充满自信地面对生活和社会。
当代数学和计算机技术的发展，为基础教育数学课程内容的选择提供了重要的依据，也为我们反思什么是学生应该掌握的基础知识和基本技能提供了指导。总之，用当代数学发展的眼光看基础，改造原有的基础，建设新的基础，乃是数学教学内容改革的要义。
随着现代数学的发展，数学科学走出了“形式主义“的光圈，与生活的联系日益密切，数学的探索过程越发凸显，这些都对教材和教学提出了新的要求。在教材建设和教学过程中，要重视所学内容与生活的联系;重视数学知识的形成和应用过程;重视学生的探索和实践，教给他们寻找真理和发现真理的方法;重视用朴实的语言反映数学的实质，揭示人们探索真理的道路;重视数学对人思考的作用，使学生变得勤于思考、善于思考。
需要特别指出的是，在与数学家的座谈中，许多数学家都提到课程改革是一个系统工程，受到多方面因素的制约。第一是高考。目前教学中很多问题是由于高考造成的，这实际上在很大程度上代表了目前我国社会对人的价值标准和取向。第二是师资。师资问题不容忽视，尤其是贫困地区的师资问题。教师不仅要有比较深厚的数学修养，还要理解数学在社会发展中的作用。
因此，课程改革要分阶段，不能急，改革不要过多依靠行政力量，要把它当作学术问题来研究。有的数学家提到能否从编写教师培训教材，或者中小学实验教材入手。另外，要首先在局部进行实验，逐步积累经验。总之，应该充分认识到改革的艰巨性，要吸收各方面意见，认真研讨。
数学家对数学教育的看法和具体建议，从现代数学的进展以及数学对现代社会的作用这一高度来审视数学教育的某些问题，确实给我们带来许多新的思路和新的启发，这些思路和启发为《标准》的研制、为数学课程的改革提供了重要的依据。实际上，如此大规模地收集、征求数学家们的意见，并加以分析和整理，在我国数学课程发展历史上还是第一次。数学家们睿智的观点和富有启发性的论述给我们留下了深刻的印象，数学家对数学课程建设的意见和建议具有重要的借鉴意义和参考价值，深深地影响着《标准》研制的进程。几乎所有与《标准》研制有关的意见都已经在《标准》中以各种形式得到体现，使《标准》受益匪浅。最近以来那些认为《标准》的研制没有充分听取数学家意见的说法与事实不符。
最后，本文以徐利治先生对义务教育数学课程应具备的特征的论述作为本文的结束：课程应具有趣味性，要将趣味性放在首位。让学生感到数学有趣，不能破坏学生学习数学的胃口，能不能使大多数学生不讨厌数学，是数学教育是否成功的重要标志，是评估教师的重要标准。有人曾经说过，过了几十年了，还做着学习数学的噩梦，这无疑是数学教育的失败;课程应具有直观性，要重视学生观察能力的培养，使学生注意观察量与形，量与量之间客观存在的关系，Hilbert著有《直观几何》，Euler也强调观察、计算、实验。直观是非常重要的，没有直观就没有证明，直观上弄懂才是真懂，教师也要从直观上理解教材;课程应具有启发性，启发学生通过观察、实验、计算来发现规律，启发学生思考;课程应体现一定的技巧性，包括计算技巧，建模能力等;课程应具有逻辑性。推理的训练还是必要的。让学生学会分析思维，有条不紊的思考，在初中是可以的。
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