数学家对《数学新课标》的实践与影响

北京教育学院张丹

数学教育的发展受到诸多因素的影响，其中一个重要的方面是数学科学自身和其应用的进展。要讨论数学教育改革，势必需要对现代数学的发展及趋势、当代数学对现代社会进步的促进、现代数学对提高公民素质的作用等方面展开讨论。

随着社会、经济、科学技术的进步，数学自身也得到了空前的发展。中小学数学课程要适应现代数学的发展，就需要广泛听取关心数学教育改革的数学家们的意见。为此，义务教育数学课程标准研制工作组设置了“当代数学进展及其对数学教育影响”的专题。

本专题的工作主要从两方面展开。第一，收集了当代国内外部分数学家的著作和文章，摘录了一些著名数学家的精辟观点。第二，《义务教育阶段国家数学课程标准》(实验稿)(以下简称《标准》)在研制过程中，召开了多次与数学家的座谈会，在座谈会上收集了部分数学家的意见和建议。这些会议主要包括1999年1月5日教育部组织召开的数学家座谈会;1999年6月24－26日，义务教育数学课程标准研制组组织，在北京应用物理和计算数学所召开了“现代数学及其对中小学数学课程的影响”专题座谈会;2000年8月27日，中国数学会组织部分数学家，在北京师范大学，召开了中国数学会中小学数学教育改革研讨会。

在整理过程中，我们发现不少国际、国内的著名数学家就当代数学的进展以及对数学教育的影响发表过许多深刻而独到的见解。一方面，尽管所处的文化背景不同、所从事的研究领域不同，数学家们还是就许多问题达成了基本共识。另一方面，针对某一问题，数学家也从不同角度提出了自己的观点。无论是共识，还是不同观点的阐述对制定《标准》都是非常可贵的。收集他们的看法，认真地去阅读和思考，无疑会提供给我们许多分析问题的新角度，为我们带来许多新的启示。实际上，这些看法几乎都在《标准》中得到了不同程度地体现。

本文将从义务教育数学课程的价值和目标、义务教育数学课程内容的选择、义务教育数学课程内容的呈现(适度“非形式化”)等方面展开。在每个方面，本文不吝篇幅，在系统梳理的基础上，不求全，只就其中一些重点问题呈现数学家的观点，适当加以总结，并具体指出这些观点对《标准》的哪些方面产生着影响。

第一部分义务教育数学课程的价值和目标

尽管自身已经成为成果卓越的数学专业工作者，但很多数学家都以不同的言词，指出义务教育是普及教育，首要目的是培养适应社会生活的合格公民;义务教育数学课程的基本出发点是促进学生的全面发展。徐利治先生明确谈到：数学教育是义务教育的重要部分，义务教育应强调大众数学，是普及教育，要面对每个学生，不是为了培养数学家。齐民友先生曾经风趣地说到：儿童的一个“优势”就是能成长，所以不要怕他现在学得太少，他一面成长，一面自己会学。

全面发展的内涵是丰富的，既包括学生知识技能的获得，也包括学生生存能力、思维能力、兴趣、个性等方面的进步。因此，义务教育数学课程的目标是多元的。

一、数学课程应重视基础知识的学习，使学生掌握必要的数学知识和技能

虽然篇幅不多，但不少数学家都提出了数学课程和数学教学要重视基础知识的学习。

姜伯驹先生指出：要重视基础知识的学习……“死”、“硬”是不好的，但“记”和“背”是需要的(如“九九表”)，接受学习也是必要的。

李忠先生也提到我们的基础教育有许多地方是好的，这些值得珍惜。

丁石孙先生对目前我国数学教育对基础知识和基本训练的学习进行了评价，在强调基础的同时，也提到了由于高考等因素造成的一些问题：目前，我们的数学教育使得学生在数学基础知识、基本训练(特别是形式逻辑的训练)方面较为扎实，但也存在着一些问题。双基的训练不是为了真正培养学生的能力，而是为了应付高考。学生负担重的原因不能简单归因于内容偏多、偏深，实际上，现在高中是三年的课程两年学完，剩下的时间大量地做题，且把题目分成题型，考试时去套题型，所以考试中心有人提出这是能力的异化——考的是题型知识，而不是学科的能力。另外，人为造作的题目多了一些。

由以上数学家的观点不难看出，使学生获得适应未来社会生活和进一步发展所必需的重要数学知识和技能，无疑是义务教育数学课程的重要目标之一。为此，《标准》把“知识与技能”作为课程目标的首要方面，明确要求义务教育数学课程要使学生掌握数与代数、空间与图形、统计与概率的基础知识和基本技能，并进一步指出学生其他方面的发展(如数学思考、解决问题、情感与态度)离不开知识与技能的学习，当然，知识与技能的学习也必须以有利于其他目标的实现为前提。

在内容的设置中，《标准》也强调为学生选择适应未来生活和进一步学习的、数学中重要的知识，并对一些基本技能提出了具体要求。两个典型的例子是小学的运算和初中的证明。尽管《标准》减少了繁杂的运算和技巧性较高的一些证明，但对它们还是给出了详细的要求。例如，对于小学阶段数的运算，《标准》不仅给出了应掌握的具体运算技能，并且在实施建议中对一些重要的口算和笔算(如20以内的加减法和表内乘除法口算，三位数以内的加减法，两位数乘两位数，除数是一位数、被除数不超过三位数的除法)给出了速度上的要求;对于初中几何证明，《标准》明确要求证明有关平行线、三角形内角和、角平分线、垂直平分线、三角形中位线、等腰(边)三角形、直角三角形、平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形等的性质或判定定理，并指出练习和考试中与证明有关的题目难度，应与所列命题的论证难度相当。

除此以外，《标准》还加强了一些过去没有得到重视的基础知识和基本技能，如数据处理的技能等。总之，《标准》不但继续强调对数学基础知识和基本技能的学习，而且赋予了基础知识和基本技能新的内涵。例如，强调结果与获取结果的过程同样是重要的课程目标，强调客观性的数学事实和主观性的数学活动经验的并存，强调对基础知识和基本技能的理解和应用，强调应用发展的目光审视基础知识和基本技能的内容。当然，数学课程要始终重视对数学基础知识和基本技能价值的深入剖析，以及加强对其发展性的足够认识。既应避免忽视基础知识和基本技能学习的倾向，又要认真对知识和技能进行选择，以确保这些知识和技能真正是学生适应未来社会生活和进一步发展所必需的。

二、数学课程应重视数学应用，使学生能够适应未来社会，提高生活能力

对于数学在日常生活、国民生产、科学技术等方面的广泛应用，很多数学家都有论及。一些数学家还指出针对我国数学课程缺乏应用的现状，数学课程和数学教学要特别重视培养学生的应用意识。

1.现代数学的应用具有了“技术”的品质

今日的数学，已不甘于站在后台，而是大步地从科学技术的幕后直接走到了前台，现代数学与计算机相结合而产生的威力无穷的“数学技术”，渗透到了与人类生存息息相关的各个领域，成为一个国家综合国力的重要组成部分。国内外许多数学家都注意到了今日数学的威力和多方面的适用性，并作出了精辟的论述。

姜伯驹先生在阐述数学从幕后走到前台时指出：现代数学不单只是通过别的科学间接地起作用了，她已经直接进入科技的前沿，直接参与创造生产价值——数学已经走到前线了。

王梓坤先生指出数学已经具有了技术的品质：由于计算机的出现，今日数学已不仅是一门科学，还是一种普适性的技术，从航天到家庭，从宇宙到原子，从大型工程到工商管理，无一不受惠于数学技术。因而今日的数学兼有科学与技术的两种品质，这是其他学科所少有的。

L.A.Steen先生在谈到数学对科学艺术的作用时指出：数学在这个时代的科学挑战中发挥着中心的作用，数学方法越来越多地被用于环境科学、经济学、社会学、心理学，甚至正在进入艺术领域。

计算机的出现，使得数学模型具有了特别重要的意义。当人们面对纷繁复杂的科学技术和社会现象时，数学可以通过建立模型、分析和求解、计算乃至形成软件等一系列方法来帮助我们把握客观世界。通过研究数学模型，对具体问题给出定量的解答。从而在自然科学、社会科学及其他学科和各种技术领域中发挥重要作用。许多数学家对数学模型的重要意义也发表了自己的看法。

P.A.Griffiths先生形象地指出数学已经从其他科学的伙计转变成为伙伴：数学一个强有力的新用处是计算机建模，数学模型、计算机硬件和数学算法的巨大进展，导致了许多科学和技术领域的巨变。

严士健先生谈到了数学模型与数学证明之间的关系：以往数学界将证明定理作为数学研究的主要目标(至少纯数学是这样)。随着现代数学的发展，数学既广泛与各门自然科学相渗透，又与计算机结合直接应用于高技术，这就使得建立模型日渐成为数学的主要目标之一。所以，在美国国家研究会《人人关心数学教育的未来——关于数学教育的未来致国民的一份报告》中有了“数学是关于模式和秩序的科学”的提法，94－98年度的世界数学联盟主席D.Mumford在1998年论述现代数学的趋势时说，“创建好的模型正如证明深刻的定理一样有意义。我想，承认这一点，数学将会从中收益”。

2.我国数学课程中存在忽视数学应用的现象

反思我国数学课程和数学教学的现状，数学的应用确实没有得到应有的重视。在这个问题上，严士健先生认为：我们现在的数学课程与现代社会与数学的发展有着很大的反差。忽视应用，这也许是现行课程最大的弱点。

不少数学家呼吁要“重视数学应用，还数学以本来面貌”。姜伯驹先生指出关于数学的名言(“数学是理性的音乐”、“数学是思维的体操”、“数学是科学的语言”)是不完全的，还应再加上一句“数学是生活的需要，是最后制胜的法宝”。P.Davis先生则幽默地指出：与其把学生拘谨在课堂上进行喋喋不休的说教，不如让学生解答现实世界中的问题，我们也许能赢得更多数学的信仰者。

由上可见，一方面现代数学的应用越来越广泛、越来越深入;另一方面，我们的数学课程中没有很好体现数学的应用价值。因此，《标准》中应把加强应用，培养学生的应用意识放到重要的地位上，或者说，恢复它原来应有的地位。

3.数学课程和数学教学必须重视培养学生的应用意识

如前所述，20世纪下半叶数学的一个最大进展是它的广泛应用，这一进展必将对数学教育产生重要的影响，最直接的一个结论就是，数学课程和数学教学要重视培养学生的应用意识和应用能力。

徐利治先生在阐述教育目的时提到：教育的目的就是要提高人的生活能力，提高民族的生存能力。国家的富强要靠数学的发达(拿破仑)。

张尧庭先生在阐述教育的功能时说道：教育不单是知识的传授，教育的功能是使学生能够适应未来社会，能够生存(杜威)，这种观点对我们的教材选择和教学都是很重要的。要教给学生运用数学去描述问题、分析问题和解决问题，去认识自然和人类社会。

齐东旭先生阐述了数学的意义：数学的意义在于认识自然、认识社会，还有认识人类自身，数学的价值要使全民都理解。计算机技术的出现，对数学的影响很大，要强调数字化特点带给数学的挑战与机遇。……要使学生认识数学和其他学科的联系很广泛，这样不但不会削弱数学，还会使学生体会数学的有用和有趣。

对于数学应用还存在着一个误解，认为只要数学学好了，自然就会应用。实际上，培养学生数学应用的意识和能力是一件很不简单的事情，它绝不是知识学习的附属产品，应该认真地加以培养。严士健先生在下面的谈话中指出了这项任务的艰巨性：为了培养应用意识，必须使学生学到必要的数学应用知识和受到必要的数学应用的实际训练，否则强调应用意识就会成为空洞的说教，这是一项并不容易的任务，它牵扯到转变观念、改变课程安排等多方面因素，需要认真研究和推行。另外，严士健对在教学中加强应用也提出了一些具体的建议：要告诉学生数学与日常生活、其他课程以及周围现实有着广泛的联系，并且要求他们在学习数学的同时主动去观察这些联系;要引导学生在解决问题时注意分析问题的要求和条件，从而考虑运用什么方法可能解决，而不是看它属于哪一类型的题目;要适当提出一些条件并不充分或解答并不唯一(或不给出结论)的题目，以使学生参加某些解决实际问题或解决某种综合性问题的活动;要组织多种多样的数学课外活动，让学生能根据自己的爱好来参加。

4.数学应用要有助于加深学生对数学的理解

其实，培养学生的数学应用意识和应用能力，还能帮助学生对数学知识、思想和方法有一个直观、生动而深刻的理解，它有助于学生正确认识数学乃至科学的发展道路，了解数学用以分析问题和解决问题的思维方式。(www.xing528.com)

丁石孙先生在谈到数学建模的目的时指出：数学建模活动的一个很重要的目的，是通过它可以使学生真正懂得数学究竟是什么。你可以联系各种各样的问题，从中体会到数学是很有用的，但有用之处并不仅仅在于它的哪一条公式有用，哪一条定理有用，而是整个数学会提供给学生们很重要的一种思想方法，这种思想方法不但对于具体的学科会有很大的作用，甚至对今后做一切工作、如何思考问题、如何抓住问题的要点，都会有作用。

王梓坤先生则对这种思考方法的内涵提出了自己的见解：当代科技的一个突出特点是定量化。……精确定量思维是对当代科技人员共同的要求。所谓定量思维是指人们从实际中提炼数学问题，抽象化为数学模型，用数学计算求出此模型的解或近似解，然后回到现实中进行检验，必要时修改模型使之更切合实际，最后编制解题的软件包，以便得到更广泛的方便的应用。

数学教育要使学生对数学有一个全面、正确的认识，使学生具有适应生活和社会的能力，使他们能亲身运用所学的知识和思想方法去处理问题，就必须重视数学应用的教学，将应用意识的培养和推理能力的发展放在同样重要的地位。同时，我们还应认识到从知识的掌握到知识的应用不是一件简单的、自然而然就能实现的事情，必须经过充分的、有意识的训练。因此，我们要在数学课程和教学中为学生提供大量的机会，使他们在解决实际问题的过程中形成数学应用的意识和初步的应用能力。

为此，《标准》明确地把“解决问题”作为课程目标的一个重要方面，对学生提出问题、理解问题、解决问题、合作交流、评价反思等提出了具体要求。《标准》还将“应用意识”作为课程内容的几个核心词之一，并给出了具体的阐释。另外，在内容领域中，《标准》除了强调在数与代数、空间与图形、统计与概率的学习中重视知识的应用，还特别增加了实践与综合应用。“实践与综合应用”是指数学与外部世界的联系、数学内容之间的内在联系、以及数学在分析和解决问题过程中的综合应用。其中，数学与外部世界的联系就是指数学与学生生活经验的联系、与社会实践的联系、与其他学科的联系等。而综合应用正是指综合应用不同的数学知识、方法、活动经验、思维方式等解决实际问题或探索数学规律。总之，运用所学的内容解决实际问题，应是义务教育数学课程的不可缺少的一部分，它应伴随学生数学学习的整个过程。其中，特别重要的是，要使学生认识到数学本身是有用的，促使他们碰到问题时能想一想是否可以用数学来解决。

三、数学课程应强调数学独特的思考方式，使学生能够运用数学进行思考，提高思维能力

除了能解决实际问题之外，数学还提供了某些普遍适用、强有力、并且其他学科所没有的独特的思考方式，理解它们并有效地运用它们无疑是数学课程的重要目标之一。

1.数学思考方式的重要性

丁石孙先生指出数学思维的重要性：数学对社会发展的作用越来越大，数学意识，特别是思维的方法，是其他学科很难替代的。

徐利治先生提出：要将数学的技术功能和文化功能结合起来。数学的文化功能包括数学地思考问题，客观公正地看待问题、分析问题，有函数、变量的观念，能以联系的观点来认识问题等方面，数学的文化功能不能忽视。

2.数学思考方式的多样性

提起数学的思考方式，人们往往想到的是推理能力，甚至仅仅是逻辑推理能力。其实，数学提供了许多有特色的思考方式，包括直观判断、归纳类比、抽象化、逻辑分析、建立模型、将纷繁的现象系统化(公理化的方法)、从数据进行推断、最优化等。应用这些方式思考问题，可以使人们更好地了解充满信息的世界;使人们具有科学的精神、理性的思维和创新的本领;使人们充满自信和坚韧。对于数学在此方面的重要价值，许多数学家都从不同的角度进行了深刻的阐述：

王梓坤先生在阐述数学对公民素质的重要贡献时提出：数学对国家的贡献不仅在于国富，而且还在于民强。数学给予人们的不只是知识，更重要的是能力，这种能力包括直观思维、逻辑推理、精确计算和准确判断。

萧树铁先生在提到数学素质的内涵时指出了四点：创造——德国数学家康托说过，“数学的本质是自由”，数学最能激发人自由创造的本能，它使人敢于突破常规，不迷信书本、权威。自由创造是人类文明的源泉，它也是数学能够启迪的人性中最珍贵的品格;归纳——归纳是人类赖以发现世界的最基本、最重要的思维方法，它是数学大厦中的主干;演绎——就是运用逻辑，从已知推知新事实的思维，演绎思维是理论数学的“看家本领”，也是科学发现的一种重要方法;数学建模——这是对现象和过程进行合理的抽象和量化，然后应用数学公式来进行模拟(包括用计算机进行数值模拟)和验证的一种模式化思维，它是人类在探索自然和社会规律中所运用的最有效的方法，也是数学应用于科学技术及社会的最基本的途径。

王世强先生在谈到数学对人类理性精神的作用时指出：数学教育是十分重要的，……其重要性一方面是由于数学的广泛适用性。……另一方面则在于数学的思维训练有助于培养和加强人们的理性探索精神。关于理性精神，在我国传统文化中也是有不少体现的，但不如西方的现代科学特别是现代数学中反映得丰富而深入。

D.T.Haimo先生则提到需要改变数学在公众心目中的形象：我们需要提高公众的认识，数学是一个生气勃勃的领域，有无数未解决的问题，有形形色色的未知地区，等待有想象力、有创造力的学者去征服!数学的发展是以创造性的发现精神为特征的。DanKennedy先生则充满感情地说到：这是一个幸福，创造性的年代。

从上面到处充斥的“直觉”、“发现”、“创造”、“活力”、“演绎”、“理性探索精神”“解决问题”等词语中，我们很容易得到一个结论，数学提供了多种独特的思维方式。非常有利于发展学生的思考能力，数学思考问题的方式(数学意识)在人类文明发展历史上起着不可替代的作用。我们的数学课程应重视培养学生运用数学进行思考的能力。

3.仅仅依靠逻辑推理是不够的

前面已经提到数学思考方式的重要性和多样性，这一点对数学教育是非常重要的。特别是，目前的数学课程和数学教学存在着片面重视逻辑推理的现象，往往掩盖了上述所提到的多样性和丰富性。对此，一些数学家明确地指出了逻辑推理的局限性，以及单纯强调逻辑推理可能带来的危害。

YuriIvanovichManin先生指出：问题的要害在于由于强调证明而造成的各种基本价值观处于不平衡状态。证明本身是“真理”概念的衍生物。而除了真理，还有其他价值观念，其中包括“活力”(activities)、“美”和“理解”，这些在中学教学及其后的教学中都是本质的要素。……从教育学的角度看，证明只是各种类型的数学内容中的一种。还有许多不同类型的数学内容：计算、附有解释的纲要，计算机程序，算法语言的描述，还有常被忽视的关于形式定义和直观概念间联系的讨论。

小平邦彦先生在谈到对数学的印象中说道：一般认为数学是按严密的逻辑构成的科学，即使与逻辑不尽相同，却也大致一样。但是实际上，数学与逻辑没有什么关系。数学当然应该遵循逻辑，但逻辑在数学中的作用就像文法在文学中的作用那样。书写合乎文法的文章与照着文法去写小说完全是两码事;同样，进行正确的逻辑推理与堆砌逻辑去构成数学理论是性质完全不同的问题。……考察除数学外的自然科学，例如物理学可以说是研究自然现象中物理现象的科学。在同样的意义上，数学就是研究自然现象中数学现象的科学。因此，理解数学就要“观察”数学现象。这里说的“观察”不是用眼睛去看，而是根据某种感觉去体会。这种感觉虽然有些难以言传，但显然是不同于逻辑推理之类的纯粹感觉，我认为更接近于视觉，也可称之为直觉。

P.R.Halmos先生在怎样做数学研究中说道：数学并非是一门演绎科学——那已是老生常谈了。当你试图去证明一个定理时，你不仅只是罗列假设，然后开始推理。你所要做的工作应是反复实验、不断摸索、猜测。

严士健先生指出：只强调数学的严格思维训练和培养逻辑思维是不够的，甚至会发生负作用，即有时会形成思想呆板的习惯。事实上，人们在真正学懂数学的过程中，除了经常用到形式逻辑思维以外，更重要的是从具体现象到数学的一般抽象，以及将一般结论应用到具体情况的思维过程。虽然数学的概念、模型、结论以至证明过程都是脱离物质形式的，但是从整个研究过程看，这种脱离又不是绝对的，都是以某种实际为背景的，例如它的基本概念和模型常常是以具有典型性而且有深刻内涵的例子为基础，加以归纳和抽象出来的;而且在抽象的过程中需要有一个抓住本质并对本质有准确理解的思维过程。人们对这些概念和模型的理解一方面要从文字的涵义角度去准确理解，但是绝不能只停留在字面的理解上，而是应该结合一些典型的实例理解它的本质涵义，而且后者是更重要的，更实质性的要求。又如结论的证明是逻辑演绎的，但是结论以及证明的方法是如何形成的，研究者通常有某种“直观”的想法为背景，就是说，可能是对某些例子的观察和试探而得来的，也可能是基于研究者过去在别的问题上的经验的升华。近年来出现一种重要的苗头：有人进一步用计算机模拟来帮助提供“直观”背景，还有一个很重要的方面是：当结论成立以后，如何分析理解它的本质，它的变型和发展，它与其它问题(实际的或理论的)的联系。所以上面所说的抽象过程，可以说是归纳方法与严密思考的结合，直观与抽象的结合，这是一种不同于逻辑思维但是更重要的数学思维方式。

吴文俊先生指出：任何数学都要讲逻辑推理，但这只是问题的一个方面，更重要的是用数学去解决问题，解决日常生活中，其他学科中出现的数学问题。……这就要培养学生的创造能力，学会处理各种实际数学问题的方法，但要做到这一点，光凭逻辑推理是不够的。

王世强先生指出：逻辑训练虽然十分必要，但这只是一种基本训练，而不是数学思维能力的全部。逻辑推理主要应用于数学证明的表达和检验，在数学学习特别是数学的应用及研究中，更重要的是：形成数学问题的能力，活用方法的能力，数学探索及发现的能力，创造性思维的能力，等等。

梁之舜引用了傅里叶的话：“对自然界的深入研究是数学发现最丰富的源泉，这种研究的特点不仅在于有完全明确的目的性，还在于排除含糊不清的问题和无用的计算，这是建立分析自身的一种方法，是数学发现至关重要的。”并且指出，这应该比严格的逻辑更重要。

张楚廷在论及“让人人喜爱数学”时这样说道：过分地强调逻辑，过分地偏重于演绎，正是许多青少年在数学学习中陷入窘境的主要原因，本来应当人人喜爱的东西，却使许多人觉得寡味了。……发散思维，直觉，在科学发现中是最受器重的因素，又正是儿童时期思维特别具有发散的特征，可是重视直觉的这种必要性及有利因素被忽略的情况却是特别严重的。……就数学思维来说，逻辑与直觉是交替的。”……数学发现并非逻辑的结果。……但数学基础问题虽意义重大，却毕竟只为极少数人所注目，在专业工作者中也是极少数。这些事实告诉我们，逻辑与直觉两相比较，直觉更为重要。在数学教学中教给学生直觉思维更为困难，对更多的学生也更为需要、更为喜爱。……“严密仅仅是批准直觉的战利品。”(阿达玛语)我们的数学教育是重点着眼于那纸批准书，还是被批准对象本身呢?

一提到数学地思考问题，许多人就把它等同于逻辑思维能力，这方面的培养当然是需要的。但如果我们只是注意数学的严格思维训练是不够的，甚至会发生负作用，即形成思想呆板的状况，过分强调逻辑会抑制学生的数学直觉和创造力。数学在表达和论证上是需要严格的，所以它经常采用的是演译方法;同时它在从实际抽象出概念和模型、构思证明方法等情况下，则是一种合情推理与演绎推理相结合、直观与严格相结合的抽象过程，这是一种独特的数学思考方式。数学课程应使学生学习这种数学思考方式，并将它应用于日常生活和工作。

为此，《标准》将“数学思考”作为课程目标的一个重要方面，要求学生通过义务教育阶段的数学学习，建立初步的数感和符号感，发展抽象思维;建立初步的空间观念，发展形象思维;经历运用数据描述信息、作出推断的过程，发展统计观念;发展合情推理能力和初步的演绎推理能力，并能有条理地、清晰地阐述自己的观点。《标准》还将数感、符号感、空间观念、统计观念、推理能力作为课程内容的几个核心词，分别对它们进行了解释。总之，《标准》从数学学科特点出发，对数学在促进学生思维发展方面的作用进行了具体阐述，希望学生通过数学学习，能够成为运用数学进行思考和解决问题的适应未来生活的人。

四、数学课程应创设良好的氛围，使学生获得良好的情感体验，发展数学学习的兴趣、信心、个性、创造

李忠先生提到了数学教育要尊重儿童，包括尊重儿童的个性、尊重儿童的志趣、尊重儿童的生活、尊重学生的不同需要：教育思想的转变更为重要，要尊重人的个性，尊重儿童的志趣，不尊重儿童的教育不是素质教育。……对公民数学素质要求的提高，并不一定意味着要加深内容，现行课程最大的问题是不联系生活，太形式化，要贴近生活，理解数学和生活的联系。把整体要求降低了，使每个人都能发展自己的才能……基础教育应当具有很大的发展性，除一般要求以外，还要培养少数，要因材施教。

齐东旭先生提到了以下几点：学生学习数学的情感是很重要的，数学教学要使学生感到有趣、有用、有奥妙，并使学生获得成功后的愉悦感;可以提出要培养学生“标新立异”的能力。敢于提出反例和怪例，这很重要。教材要留有余地，不要有过多的条条框框，不要总是提标准答案，教师不要轻易否定学生的答案，暂时解决不了没有关系;要使学生会联想，如蒲丰实验，后来发展成为蒙特卡洛方法。

冯克勤先生提到了他对什么是好的教学的认识：即使是十岁的孩子，也要当作HumanBeing来看待，作为朋友来讨论问题，这对于孩子的心理是非常重要的。鼓励、引导、启发他们自己去发现和发表看法，我们的“师道尊严”太多，只有老师正确，不许学生有老师之外的想法，但老师也有犯错误的时候。小学生考试99分都被批评，实在太苛刻，是一种犯罪行为!成人也经常犯错误，为何对稚童这样苛求?正确的观念是“犯错误是不可避免的”，人类认识和实践的整个过程就是不断发现真理，改正错误。应当教学生一些本事，能“及时意识和发现自己的错误，并善于和有效地改正错误”。……我认为一堂课的教学是否成功，要看：当教师说错一句话或在黑板上写错一个字时，是否有学生当即指出“老师你好象说错或写错了”;有学生举手：“对不起，我没有听懂，您能否再说一遍”，“我这样看问题……，这是否对?”，“我认为您说得不对……”，“我想问一个问题……”。我认为最不成功的讲课是：在下课时，所有学生都把双手放在背后，用同一个腔调：“明白了!”。大家都很清楚，目前我们的课堂“秩序”是哪一种。教育的重要功能是培养学生的求知欲和兴趣，然后才谈得上对科学的探索的热爱，目前中小学教育的最大“功绩”是用成千上万个愚蠢的作业题让学生(不是全部)讨厌科学，不会提问题也不会思考。

周毓麟先生提到了要使学生有信心去学习：要联系生活，使他有信心。

需要指出的是，有的数学家对数学课程标准中，是否应该出现情感目标发表了不同的意见。李忠先生提到：《标准》只要列出基本内容就行了，没有必要提出“情感目标”。感情是什么?与兴趣是一会事吗?我不懂。但是，我认为要允许学生不喜欢数学。作为国家标准，最好不要把“情感体验”之类的要求放到标准中去。在小学阶段，学生的主要任务是学习。在这一阶段要求学生的探索精神和创新精神根本达不到，没必要提出。如果说一定要制定一个标准的话，那么标准应该在数学内容上做出明确具体的规定，其它东西一概不要。

尽管有的数学家对课程标准中是否需要单列情感目标，以及使用“情感”这个词是否合适提出了疑义。但在义务教育阶段，数学课程和数学教学应尊重学生，使学生学习得有兴趣、有自信，使学生敢于表达自己的观点，使学生的个性能够得到较为充分地发展，这一点还是能够得到基本共识的。

为此，《标准》将“情感与态度”作为课程目标的一个重要方面，涉及了学生数学学习的情感(好奇心、求知欲)、态度(成功体验、意志、自信心、实事求是、质疑、独立思考)和价值观(数学与人类生活、数学探索与创造、数学的严谨与确定性)等丰富内涵，这些对于学生终身发展都是极为重要的。特别是，《标准》首次将建立对数学比较全面、正确的认识作为学生数学学习的重要目标，促进了学生价值观的发展。

虽然数学家并没有专门对义务教育数学教育的价值进行详细论述，但从以上几位数学家的谈话中不难得到，数学教育的价值是丰富的。正如沈复兴先生所说的：数学教育的目的无非是让学生喜欢数学，用数学解决问题，理解数学思想，培养学生把现实问题抽象为数学问题，把一种数学问题化归为另一种数学问题等能力。