高等数学：函数的概念和几何特性

1. 区间和邻域

讨论函数的定义域就要涉及数集，下面列出一些常用数集的符号.

此外，我们还常用到如下几种邻域.

注 因为任意实数都对应实数轴上唯一的点，反之亦然，所以我们对于“实数a”与“实数轴上的点a”不加以区分.

2. 函数的概念

定义1 设数集D⊂R，如果存在一个对应法则f，使得对数集D中的每一个实数x，都存在唯一确定的实数y与之对应，则称f为定义在数集D上的函数，通常简记为

其中x称为自变量，y称为因变量，D称为定义域（domain），记作Df，即Df=D.

图1−1

图1−2

图1−3

的定义域D=(−　∞,+　∞ )，值域Rf =Z . 其图像如图所示. 这个函数称为（向下）取整函数（见图 1 − 3）. 我们可以看到取整函数的图像在x为整数值处发生了跳跃，跳跃高度为1.

取整函数也可以表示为

前面 3个例子都具有这样的特点，即函数定义域被分割为互不相交的一系列子集，当自变量取值于不同的子集时，函数的对应法则也有不同的表达式. 通常称这类函数为分段函数（piecewise function）.

再介绍一个特殊的分段函数.

例4 狄利克雷（Dirichlet）函数

我们无法作出D(x)的图像，但有时可以用它来说明一些分析事实.

3. 函数的几何特性

我们记函数f(x)的定义域为D.

（1）奇偶性

设D关于原点对称，即x∈D必有−x∈D. 如果对于任意的x∈D，

恒成立，则称 f(x)为偶函数（even function）. 如果对于任意的x∈D，

恒成立，则称 f(x)为奇函数（odd function）.

偶函数的图像关于y轴对称，而奇函数的图像关于原点对称.

由于对称性，我们要研究奇偶函数的性质，只需在x正半轴上讨论就足够了.

（2）周期性

如果存在一个正数T，使得对于任意的x∈D，都有x±T∈D，且

恒成立，则称 f(x)为周期函数（periodic function），称正数T为周期（period）. 通常讲，周期的含义是指最小正周期. 例如，函数sinx有周期2nπ,n∈N+，但我们常说sinx的周期是2π，这是指最小正周期.

对于任意的x∈D成立，则称函数f(x)在D上有界. 其中a称为函数f(x)在D上的一个下界（lower bound），b称为函数 f(x)在D上的一个上界（upper bound）.

若a为 f(x)在D上的一个下界，则a−1，a−2，… 都是下界，所以 f(x)在D上的下界有无穷多个；同理，若b是f(x)在D上的一个上界，则f(x)在D上的上界也有无穷多个.

我们引入数学中广泛使用的数理逻辑中的两个逻辑符号，即∀和∃. 这样可以把许多数学命题或叙述符号化.(www.xing528.com)

符号∀是从大写字母A绕中心旋转得到的. 它的意义与英文单词All直接相关，表示“对所有”，“对任意”，“对任何”或“对每一个”.

符号∃是从大写字母E绕中心旋转得到的. 它的意义与英文单词Exist相同，表示“存在”或“有”.

对于任意的x∈D成立，则称函数f(x)在D上有界（bounded）. 如果不存在这样的M，就称函数 f(x)在D上无界（unbounded）. 从函数图像上看，函数 f(x)在D上有界，意味着f(x)的图像落在了两条水平线y=±M所夹的带状区域内.

定义2′ 如果存在实数a,b，使得

最后，我们强调一点，要讨论函数的有界性，必须指明函数所定义的数集或区间，否则就没有意义了.

（5）最值与极值

如果存在一点x0∈D，使得∀x∈D，都有则称 f(x0)为函数 f(x)在D上的最小值（absolute minimum），x0称为最小值点；如果上式中的不等号反向，则称f(x0)为函数f(x)在D上的最大值（absolute maximum），x0称为最大值点. 最小值和最大值统称为最值（absolute extremum），最小值点和最大值点统称为最值点.则称 f(x0)为函数 f(x)在D上的极小值（relative minimum），称x0为函数 f(x)的极小值点. 如果上式中的不等号反向，则称 f(x0)为函数 f(x)在D上的极大值（relative maximum），称x0为函数 f(x)的极大值点. 极小值和极大值统称为极值（relative extremum），极小值点和极大值点统称为极值点.