同行交流：美国哈佛大学讲学期间的难忘经历

奥斯卡·扎里斯基（Oscar Zariski，1899—1986）是20世纪最有影响的代数几何学家之一，生于白俄罗斯的科布林（Kobrin）。他是犹太人，一生充满了坎坷。1918年扎里斯基进入乌克兰的基辅大学开始学习数学，偏向于代数与数论。同时他在大学里还是一名关心社会、积极宣传马克思主义的进步学生，并且在游行中受过伤。20岁左右，他逃到意大利，当年秋天进入罗马大学求学。二战后移居美国，并加入美国国籍。不久就被哈佛大学聘请为数学教授。哈佛大学是美国最古老的私立大学，在马萨诸塞州的州府波士顿东北的坎布里奇。此后，扎里斯基吸引了一批天才犹太科学家到哈佛，其中就有格罗滕迪克和萨米埃尔（Pierre Samuel，1921—2009）。萨米埃尔于1947年在扎里斯基指导下完成博士论文，并和扎里斯基合写了两大卷的《交换代数》。

扎里斯基

扎里斯基通过运用抽象代数的思想方法，和韦伊、格罗滕迪克等一起在20世纪中期重新建立代数几何的逻辑基础，澄清了经典代数几何中的许多模糊之处，从而为20世纪下半叶代数几何的大发展奠定了良好的基础。扎里斯基在1981年获得沃尔夫数学奖。

代数几何在现代数学中占中心地位，与多复变函数论、微分几何、拓扑学和数论等不同领域均有交叉。始于对代数方程组的研究，代数几何延续解方程未竟之事：与其求出方程（组）实在的解，不如尝试理解方程（组）的解的几何性质。代数几何的概念和技巧都催生了某些最深奥的数学分支。代数几何也将分析、拓扑、几何与数论中的许多基本概念和理论抽象提升到了更高的层次，所以说代数几何是20世纪数学统一化的一个主要源动力。

意大利几何学派的代数几何不够严密，急需牢靠的理论基础来支撑其直观的思想，意大利学派在分类代数曲面上已经走到了尽头。德国代数几何学家马克斯·诺特（Max Noether）的女儿艾米·诺特（Emmy Noether，1882—1935）及其学派发展了一整套强大的抽象工具，诺特的学生范德瓦尔登（van der Waerden）首先把抽象代数学引进代数几何。扎里斯基先是师从于意大利代数几何学派的卡斯泰尔诺沃（G.Castelnuovo），但是对此学派工作的不严密性耿耿于怀，促使他决意改造古典的代数几何。先是在莱夫谢兹（S.Lefschetz）的影响下用拓扑工具处理代数几何问题，但成效不大，后运用诺特学派的工作，重新改写古典的代数几何，他的《代数曲面》一书于1935年完成，标志着代数几何的抽象化真正开始了，也标志着代数几何研究进入了扎里斯基时代。

格罗滕迪克分别于1958年和1961年秋访问哈佛大学，1961年诞生了“格罗滕迪克拓扑”。

日本数学家广中平祐在他的书《创造之门》中记载了格罗滕迪克在哈佛大学的情形：

“（扎里斯基）是我在哈佛大学的老师，扎里斯基先生非常严格，弟子们都很怕他。他治学的时间虽然很长，但在他门下获得博士学位的学生却很少。从这就明显地看出他是多么严格的一个人。扎里斯基在哈佛工作了共30年左右，而弟子中获博士学位的人只有10名左右。而在30年的时间内，通常要培养40人左右，最少也有20人左右。

广中平祐，芒福德，M.阿廷（从左至右）

扎里斯基先生很少收学生，即使收了，有时也马上强推给其他教授。

我留学时，最初，我们一期包括我共有五人，但不知什么时候，其中的两人转到了其他教授门下，只剩下三人。也就是说，他是一个主张人在精不在多的精锐主义者。（附带说一下，现在挂在哈佛大学的数学教室里的功臣半身像中，只有扎里斯基一人是活着的时候挂上去的。这是因为他的门生中有两位菲尔兹奖获得者。）

对我来说，师从于这样严格的老师是很幸运的。因为他是系主任，工作很忙，因此回答我们提问的时间不多；在这一点上，也可以说给我们的学习增加了困难。然而，幸运的是我的同学足以弥补这一点，并使我受益匪浅。

其中一位名叫芒福德（D.Mumford），他比我小5岁，21岁进入哈佛大学研究院。一般来说，美国的大学有一条不成文的规定，大学生毕业不能进入本学校的研究院，但也有例外的情形，不过这种情形大约10年只有一次。不用说，这样的学生都是绝世英才，芒福德就是这样几个少数的英才之一。他继我之后，于1974年获菲尔兹奖，现为哈佛大学的数学教授，专业也是代数几何，被认为是这一领域的世界权威。

另一位同学叫阿廷（M.Artin），比我小3岁。他是从普林斯顿大学进入哈佛大学的。他与芒福德不同，显得笨手笨脚，不怎么引人注目，但是，他的观察能力特别强，能迅速地断定事物的本质及其发展趋势，并具有非常强的表达思想的能力。他的气质和才能与芒福德决然不同。他现在是麻省理工学院的数学教授，特别是以自己在代数几何中的近似理论闻名于世界。

我到哈佛大学留学的第二年，即1958年，学校邀请了一位德国数学家到哈佛大学讲学，他的名字叫格罗滕迪克，他在当时代数几何领域中已经是颇有名望的人物。哈佛大学的泰特（John Tate）教授想全力以赴在代数几何上做出贡献，在他的提议下，格罗滕迪克在哈佛做了为期一年的学术报告。”

在到来之前，格罗滕迪克和扎里斯基通过几次信。当时是“麦卡锡时代”后期，反共白色恐怖仍笼罩在学术圈里，来美国访问得到签证的一个要求是宣誓自己不会从事推翻美国政府的活动。

格罗滕迪克拒绝做这样的宣誓。当被告知他可能因此被投入监狱时，格罗滕迪克回答说进监狱他可以接受，只要学生们可以来探访他，而且他有足够多的书可以用就行了。

还好美国没有对格罗滕迪克的访问设置障碍。格罗滕迪克致信给塞尔：

“哈佛的数学气氛真是棒极了，和巴黎相比是一股真正的清新空气，而巴黎的情况则是一年年越来越糟糕。这里有一大群学生开始熟悉概形的语言，他们别无所求，只想做些有趣的问题，我们显然是不缺有趣的问题的。”

有一次，扎里斯基在讲课，格罗滕迪克不停问他为什么不能证明他的结果可用到概形上去，而仅仅是代数簇。扎里斯基简单地回答说没法这样做。最终，格罗滕迪克再也无法忍受，走到黑板上开始写下概形的证明。扎里斯基马上写下一个反例，当格罗滕迪克意识到错了时，扎里斯基说（带着浓重口音）：“在我的时代，我不得不学习很多的语言。”这时，格罗滕迪克满脸通红非常尴尬。

另一次扎里斯基讲课，格罗滕迪克又问他为什么没有推广他的工作。这次扎里斯基有点不高兴，冷冷地说：“亚历山大，现在我们必须学会一些自我控制。”

芒福德说：“当我开始代数几何研究生涯之时，我认为有两个吸引我的原因，首先是它研究的对象实在是非常形象和具体的射影曲线与曲面；第二是因为这是一个既小又安静的领域，其中大概只有十来个人在研究，几乎不需要新的想法。然而随着时光的推移，这个学科逐渐获得了一个看上去诡秘、孤傲而又极端抽象的名声，它的信徒们正在秘密打算接管其他所有的数学领域！从某种程度上说，上述最后一句话是对的：代数几何是一门与大量其他数学领域有着最密切关系的学科——例如复解析几何（多复变）与微分几何、拓扑学、K-理论、交换代数、代数群和数论——并且既能给所有这些学科以各种定理、方法和例子，同时又能够从它们那里得到同样多的定理、方法和例子。”

格罗滕迪克思想过于深邃，对数学进行大刀阔斧的变革，当时人们难以理解！广中平祐在《创造之门》中写道：“我自始至终地参加了格罗滕迪克在哈佛为时一年的学术报告。当时格罗滕迪克从分析转向代数几何，正开始从事将代数几何的基础全面改造成概形理论的工作。这期间我一方面听他的报告，另一方面也相互探讨学术上的一些问题。我们之间结下了很深的友情。格罗滕迪克对待数学这门学问的态度也给了我宝贵的启示。他在数学上的专心简直有点像下赌注般的执念，而且持久性也是令人吃惊的。(www.xing528.com)

他的这种执念和力量是从哪里来的呢？

我带着这个疑问仔细观察了他的治学态度，我以为可能是来自他所经历的那种难以想象的逆境。我从未听到格罗滕迪克谈过自己的充满艰辛的经历。他不是喜欢吹嘘自己经历的人。我曾设想过，即便是我听到他谈起：他是怎样身穿收容所的衣服逃到法国，没有国籍，一心钻进数学王国的艰苦奋斗的历史，我也不会感到意外。因为我了解他，相信他会这样做的。

格罗滕迪克的能量很大，就像在没有河流的地方掀起滔滔洪水一样，泛舟遨游在数学的天地间。一般数学家要花相当长的时间选择适合自己的研究课题；而他却是一个怪杰，碰到什么就研究什么。他精力充沛，一天能写一二百页论文，从中产生下一个思想，属于猛烈进攻型的学者。”

扎里斯基的学生都变成格罗滕迪克的追随者，芒福德毕业后被哈佛大学聘为助理教授，特别开设了一门讲格罗滕迪克理论的课，令他惊奇的是扎里斯基从未来听课。还有奇怪的是，广中平祐、芒福德、M.阿廷这三位好朋友却从来没有合写过一篇论文。

格罗滕迪克在越南

国际数学家大会每4年举办一次，1970年安排在法国的尼斯。通常大会是在8月举办，但尼斯是法国旅游胜地，考虑到旅游季节的8月旅馆不容易有空缺，于是大会延期到9月1日至10日举行。

9月1日上午9点半，大会开幕。当匈牙利数学家图兰（Paul Turan）介绍菲尔兹奖得主贝克（Alan Baker）的工作时，格罗滕迪克开始分派他新成立的“生存和生活”组织的宣传小册子。轮到他介绍广中平祐的工作时，他把装小册子的包裹放下，站上讲台开始用英语演讲。这时一些法国数学家向他高喊：“用法文讲！”根据大会预先规定，他是应该以法语报告。他不管一些人的呐喊，继续用英文介绍广中平祐的工作。

广中平祐出生于日本山口县，1954年毕业于京都大学，1957年夏天来美国哈佛大学向扎里斯基学代数几何。认识了格罗滕迪克后，广中平祐学到格罗滕迪克的关于代数几何的一些思想和技巧，在1960年完成他的博士论文。在1964年他的成名工作是在特征数为0的域上的代数簇上奇异点的消解，把他的导师扎里斯基从小于维度3的代数簇推广到任意高的维度去。1959—1960年格罗滕迪克邀请广中平祐到法国高等科学研究所研究。1962年广中平祐被邀请在瑞典斯德哥尔摩举办的“国际数学家大会”上介绍他的代数簇奇点消解理论。

格罗滕迪克介绍广中平祐的工作

格罗滕迪克演讲完后，在接下来别人介绍两位菲尔兹奖获得者的工作的报告时，向大厅的听众分发反战的“生存和生活”的宣传小册。

这一次“国际数学家大会”举行的地点在尼斯大学，原因是迪厄多内教授是这里的理学院院长，借这所大学开会可以替法国数学学会节省许多开支。

迪厄多内是格罗滕迪克在1949年来南锡大学时他的论文导师之一。法国高等科学研究所成立时，迪厄多内被聘请当那里的教授，他提出一个条件：必须同时聘请格罗滕迪克为教授之一，因为当时格罗滕迪克在法国没有固定的职位，只是靠“中央研究中心”（CNRS）微薄的研究金过日子。

两人终于在高等科学研究所定居下来，这开启了格罗滕迪克生命中10年的黄金时代，在那里善于写作的迪厄多内协助思想天马行空的格罗滕迪克编写《代数几何原理》，从1960年直到1967年共写了1700余页，发表在《高等科学研究所数学出版物》上，成为现代代数几何的经典著作。

迪厄多内在数学上敬重这个学生，但不喜欢他的激进思想和行为，尤其不同意他要放弃数学从事环保及反战活动。现在看他在大厅里不管人们在开会发送宣传册子，心里很是生气。

9月4日，格罗滕迪克在大会厅设置一个他的“生存和生活”宣传摊位，由他的大儿子塞尔日（Serge）协助，这摊位在两个出版商摊位间，吸引了300多名听众听格罗滕迪克讲述他的组织宣传。

迪厄多内很气愤格罗滕迪克不顾大会规则私设摊位，要他移出大厅，两人争吵起来，在几个好朋友的劝导之下，格罗滕迪克同意把摊位移到室外。可是尼斯的警察总长来到大学校园，认为他的行为是在引起骚乱，要他移走摊位。可是他拒绝了，他的好友卡蒂埃（P.Cartier）惊呼：“他要进监狱！他真的想要进监狱。”

最后卡蒂埃教授的几个同事把这个宣传摊位向后移动几尺，满足警长要求不妨碍行人走路，事情才解决。

卡蒂埃1950年进入高等师范学院，1958年在昂利·嘉当指导下取得博士学位。1961—1971年是法国国家科学研究所的研究主任，1955—1983年是布尔巴基学派会员。在代数几何、数学物理、群表示论和形式群上均有卓越贡献。格罗滕迪克在1970年9月离开高等科学研究所之后，卡蒂埃在1971年7月任职。1950—1960年代，他们在布尔巴基学派里共事，成为好朋友。

许多年后，卡蒂埃回忆当年尼斯摊位争执事件，提出他对格罗滕迪克的看法：“他从心里是彻头彻尾的无政府主义者，他有一些想法和我不同，但政治上他是很幼稚的，他行事不顾后果。”

是的，我基本上同意卡蒂埃教授的看法，在数学理论上格罗滕迪克是巨人，但在政治认识上他却是“矮子”。（这也许是他内心纯粹的体现吧。）

卡蒂埃