冯·诺伊曼与康韦生命游戏：机器自我进化的数学故事

“老爷爷，我总算明白这游戏的规则了，以及寻找这游戏呈现的规律，你可以告诉我一点这游戏背后的一些历史知识吗？”

“有一个波兰裔的美国数学家艾伦伯格（Samuel Eilenberg），和美国数学家麦克莱恩（Saunders MacLane）创立了范畴理论。

艾伦伯格（左）和麦克莱恩

艾伦伯格以前研究代数拓扑学，后来在纽约的哥伦比亚大学数学系任教，晚年时对自动机理论产生兴趣。”

“什么是自动机呢？”

“自动机是一个电子计算机的雏形，能做一些特殊的运算。有限自动机是计算机科学的重要基石，它在软件开发领域内通常被称作有限状态机，是一种应用非常广泛的软件设计模式。每个自动机能产生一些特殊的所谓‘形式语言’，艾伦伯格把他研究的心得写进计算机理论的经典著作，他还是法国布尔巴基学派的外国秘密成员之一。”

艾伦伯格的自动机理论著作

1943年，麦克卡洛克（W.McCulloch）和皮特斯（W.Pitts）提出的神经网络模型是有限自动机的一个实例，1951年，克林（S.C.Kleene）在这种神经网络模型的基础上，提出了正则事件（正则语法）的概念，证明了正则事件是可以被神经网络或有限自动机表示的事件，而且神经网络或有限自动机可以表示的事件也一定是正则事件。

最早研究细胞自动机的科学家是冯·诺伊曼。

冯·诺伊曼

此外还有康韦生命游戏，又称康韦生命棋，是英国数学家约翰·霍顿·康韦（John Horton Conway，1937—2020）在1970年发明的细胞自动机。长期在《科学美国人》（Scientific American）做数学普及工作的马丁·加德纳（Martin Gardner，1914—2010）于1970年10月在《科学美国人》上对此做了介绍。

生命游戏其实是一个零玩家游戏，体现了冯·诺伊曼关于机器自我进化的思想。它包括一个二维矩形世界，这个世界中的每个方格居住着一个活着的或死了的细胞。一个细胞在下一个时刻的生死取决于相邻8个方格中活着的或死了的细胞的数量。如果相邻方格活着的细胞数量过多，这个细胞会因为资源匮乏而在下一个时刻死去；相反，如果周围活细胞过少，这个细胞会因太孤单而死去。

每个格子的生死遵循下面的原则：

1.如果一个细胞周围有3个细胞为生（一个细胞周围共有8个细胞），则该细胞为生（即该细胞若原先为死，则转为生；若原先为生，则保持不变）。

2.如果一个细胞周围有2个细胞为生，则该细胞的生死状态保持不变；

3.在其他情况下，该细胞为死（即该细胞若原先为生，则转为死；若原先为死，则保持不变）。

设定图像中每个像素的初始状态后依据上述的游戏规则演绎生命的变化，由于初始状态和迭代次数不同，将会得到令人叹服的优美图案。

我们刚才玩的数学游戏就是不同的自动机，你可以看到最简单的自动机都会有令人意想不到的美丽结果。我希望以后你有机会再学习一点这方面的知识。

我有幸在20世纪80年代听艾伦伯格的讲课。

“艾伦伯格喜欢旅行，他去亚洲印度和东南亚国家时，就购买一些佛像、印度神祇雕塑、动物的金属纪念品，在他去世之前，他把这些珍贵的收藏全捐献给纽约的艺术博物馆。”

康韦(www.xing528.com)

康韦生命游戏产生有趣的图案

“啊！这是一个无私的人，他教书好吗？”

“非常地好！讲英文带有波兰口音，由于我曾经在加拿大协助一个波兰盲眼教授生活，学了一点波兰语，而且又喜欢肖邦的音乐以及居里夫人的事迹，因此对他颇有亲切感。

他秃头，大胡子，晚年喜欢享受美食，因此有一个大肚腩。他上课时声音洪亮。

我有一次因为赶‘人工智能’的电脑作业，一直到清晨4点才睡，但是他的课是早上8点就开始，我睡过头但不想缺课，还是匆匆忙忙去上，走进教室，所有的学生都坐在后排，前排的椅子是空的，只好走上前排去坐。

可是教室暖气太足，不到20分钟，我就昏昏沉沉睡去了。

突然我的脚被人踢了一下：‘喂！你怎么在我的课堂上睡觉！’

‘没有，我只是闭着眼睛听你讲课。’我嘟囔着回答，勉强睁开眼睛，发现我这位可爱的老师睁大眼睛瞪着我。”

“老爷爷，你真丢脸。”

“是的，这是我一生的一件糗事。

对了，我想纠正一下数学史上的错误，有人认为高斯是因为他献给法国科学院的《算术研究》一书遭到否定，造成了心理伤害，因此后来他不急于发表他的工作，许多成果被束之高阁，过世后才被人发现。

1935年有人去法国科学院调查这事，结果发现高斯从来没有给科学院这本书，也没有人对他的工作有差评的资料，世人就喜欢捕风捉影，以讹传讹。

这本《算术研究》是好书，中国的潘承彪教授等在这书问世200多年之后翻译成中文，我送你一本作纪念。”

2019年1月6日，我从上海到台湾，第二天去彰化师范大学准备为老师和学生们讲《古为今用——从毕达哥拉斯定理到“何·李·舒尔标号”理论的诞生》。

梁崇惠教授出示日本大阪经济大学教授西山丰（Nishiyama）发表在2014年10月《现代数学》上的文章《三角形三色问题》。他问我怎样考虑四色问题。

我在略读之后，觉得可以用更一般的自动机理论来处理，于是在晚餐后对他们夫妇解释怎样思考和推广。

梁夫人是中学的数学老师。我想通过我的言传身教使她可以用类似方法去教导学生，吸引学生学习数学的兴趣。

马丁·加德纳曾说过：“我一向觉得引发青少年学习动机的最佳方法是给他们做趣味的问题——就是有强烈游戏意味的问题。他们将乐于去做而且从中学到有意义的数学。我想，趣味数学的价值愈来愈受到老师及教材编写者的重视。”

于是决定把我想过的知识用通俗语言写下，从2019年1月7日晚及8日清晨写成以上的文章，要感谢崇惠无意的“无心之问”，以及梁夫人的丰盛晚餐，让我有精力完成这个工作。