《斐波那契季刊》创办人弗纳·霍格特教授揭秘

彼得·贝克曼将历史上的人分为两类，即思想家和暴徒。希腊人是思想家，罗马人是暴徒。一般法则似乎是暴徒总是胜利，但思想家总是比他们活得更久。

——霍华德·伊夫斯（Howard Eves）

数学可以比作一块岩石，我们希望研究它的内部构成。早期的数学家看起来像是坚持不懈的切割工，他们慢慢地试图用锤子和凿子从外面切割岩石。后来的数学家类似于专家级矿工，他们寻找脆弱的脉络，钻进这些部署好的位置，然后用充分放置的内部炸药将岩石炸开。

——伊夫斯《数学圈》（In Mathematical Circles，1969）

数学刊物有各种各样，但是有一本季刊却与众不同，专门登载与斐波那契数有关的论文。这季刊创刊于1963年，是由圣何塞州立大学数学系小弗纳·霍格特（Verner Hoggatt.Jr.，1921—1981）一手经营的。

斐波那契数是意大利数学家比萨的莱昂纳多（Leonad of Pisa，1170—1240）在他的书中的一个“兔子生兔子”问题里首先引出来的。

它是数列1，1，2，3，5，…。从第三项起每一项都是前面两项的和，即

弗纳·霍格特

2＝1+1

3＝1+2

5＝2+3

以此类推。我在《数学和数学家的故事》第5册里曾较详细地介绍过这个数列。

1986年我在犹他州森丹斯（Sundance）的组合会议上遇见匈牙利数学家保罗·埃尔德什（Paul Erdös），他看到我胸前铭牌上附属的大学是圣何塞州立大学时就问我：“认不认识弗纳·霍格特教授？”

我说：“我去圣何塞州立大学教书时是1984年，很可惜他已经在1981年去世了。”

埃尔德什说：“很可惜，他走得这么快。你知道他为什么要自杀吗？”

我说，我的确不知道。

中国数学史家梁宗巨教授曾给我写信，要求我提供一些关于霍格特教授的资料，很可惜我由于对他的认识乏善可陈，没法提供太多的信息。

我曾问聘请我来加州的图论专家和当时的系主任米切姆（John Mitchem）教授关于霍格特的死因。

他说：“他自杀的那个夏天，他有教课。有一天他来找我，竟然对我说他想自杀，我就劝他去看心理医生。最初我也不当一回事，他有厌世的情绪，我心想肯对人讲要自杀的就不会自杀。谁知在他教完课之后，考卷改完，学生的分数算好，他就自杀了。”

“为什么呢？”

“他是做事有责任心的人。他完成工作后去自杀，觉得这样不会带给学校和他的学生太多的困扰。”

“他是否患有癌症，不想活了？”

“没有，他身体健康。我猜他有忧郁症。”

霍格特喜欢藏书，拥有大量数学史的书籍。在他去世之后四年，他的夫人和女儿把他生前的藏书赠给我校数学系。数学系特别辟一间大房间收藏他的书、数学家的塑像及多面体模型。

在捐书仪式上，我见到他的夫人和女儿。夫人说：“我到现在还不明白为什么他要选择那种方式离开人世。”

我的一个好友是欧拉图的专家。他自称中文名字是“猫林先生”（Catlin）。他喜欢中国食物和收中国学生做博士生。他的第一个中国大弟子就是现在卓有名气的赖宏坚。

我们几次在开会时一起吃饭聊天，结果他在一个夏天教完课之后，就从他住的楼上跃下自杀，让我心中非常悲痛。

我喜欢的演员罗宾·威廉（Robin William）也是选择轻生离开这世界。

回过头来讲霍格特的藏书。他经过多年的搜集，有德文、意大利文、俄文、法文等各种各样关于数学史的书籍。他的藏书就放在以他名字命名的房间里。而这房间在我的办公室斜对面。有一天，我发现门口的大垃圾桶里竟然有一大堆他的书。

我问负责系图书馆的教授：“为什么要丢弃？”

他回答：“我们没有空间放置其他书籍，而这些外文书（指德文、法文、意大利文及俄文）没有人会看，放在这里是浪费空间。”

这真是暴殄天物。等他离开之后，我把他丢弃的书籍搬回家里。（这些书后来大部分与我的其他藏书都捐给中国的大学图书馆。我只留下少数用，还有一些给喜欢数学史的朋友。）

我想，他如果地下有知，一定会痛心年轻的美国数学家这么短视，把他的宝贝当作垃圾处理掉。

2018年7月30日，我在加州克莱蒙学院图书馆看书，看到美国数学史家霍华德·伊夫斯（Howard Eves，1911—2004）写的《数学回忆》（Mathematical Reminiscences）一书，里面竟然有一篇是写他的学生霍格特的纪念文章。文章标题《你好，欢乐的精灵！》（Hail to Thee，Blithe Spirit）。于是决定把这篇文章重点译述，让更多中国读者知道他的生平。

伊夫斯的《数学史概论》和《数学回忆》

中国读者对伊夫斯不会陌生，应该看过他1994年写的《数学史概论》中译本。伊夫斯作为一名教师、几何学家、作家、编辑和数学史学家，取得了卓越的成就。作为著名的教育家和学者，他的大部分职业生涯都在缅因大学和中佛罗里达大学度过。25年来，他编辑了《美国数学月刊》的基本问题部分。伊夫斯与霍格特长期合作，首先作为他的老师，然后作为合作者和朋友。

在文章里他讲述道：“每个数学老师的伟大梦想是在他或她的学生中寻找潜在的未来数学家，并在培养该学生的数学成长方面发挥有益作用。没有太多的乐趣会超过这种体验。我在教学的这方面非常幸运，我可以很容易地列出一些给我这种至高无上快乐的以前学生的名单。我怀疑他们是否意识到我是多么深深地感谢他们成为我的学生。我选择了以下的回忆来说明这方面的教学，这让我们很多人都非常乐于从事这个职业，使得这个职业的所有挫折和问题都显得不重要。”

1940年中伊夫斯离开纽约州的锡拉丘兹大学（Syracuse University）应用数学系，到华盛顿州塔科马城（Tacoma）皮吉特湾学院（College of Puget Sound）数学系当系主任。

伊夫斯要教代数和三角。第一天上课，他看到20多个学生中有一位圆滚身材、显得相当聪明的学生——那就是霍格特。

初次见面伊夫斯就感到这青年喜欢数学。这是所有数学老师的梦——教到一个未来会成为数学家的学生。(www.xing528.com)

果不其然，霍格特喜欢讨论数学。后来他们常常傍晚一起在塔科马散步聊数学问题。

有一天，伊夫斯对霍格特讲他读到雅各布·伯努利（Jacob Bernoulli）的一个问题：“狄杜斯（Tithius）给他的朋友参波尼斯（Sempronius）一个三角形边长是50，50，80的土地来交换三边长50，50和60的三角地。我称这个交换是公平的。”

伊夫斯就这样定义：

【定义】两个不全等的等腰三角形△ABC及△DEF，我们称它们为伯努利三角形，如果有AB＝AC＝DE＝DF，BC，EF都是整数，而且面积相等。

伊夫斯问霍格特怎样找这些三角形。

雅各布·伯努利

我国古代把直角三角形中较短的直角边叫做“勾”，较长的直角边叫做“股”，斜边叫做“弦”。直角三角形的两条直角边的长度a，b（古称勾长、股长）的平方和等于斜边长c（古称弦长）的平方，即勾股定理的公式为a2+b2＝c2。当a、b、c为正整数时，（a，b，c）叫做勾股数组。

两个面积相等的三角形

霍格特马上找出可以得出所有伯努利三角形的构建法：取任正整数边的直角三角形，比方说勾股弦数组（3，4，5）的直角三角形两个，拼合而成△ABC及△DEF。

△ABC面积＝（6×4）/2＝12及△DEF面积＝（8×3）/2＝12，它们是伯努利三角形。

在《美国数学月刊》（The American Mathematical Monthly）中还有一个数学游戏问题：运用+，－，×，÷，，！（阶乘）的运算及4个9表达1到100的数。比方说有

伊夫斯对霍格特提起这样的问题让他去试下。第二天霍格特给出以下的答案：

这里！是指运算n！＝n！［1－1/1！+1/2！－1/3！+…+（－1）n/n！］。

人们称它为子阶乘（subfactorial）。

如果不要应用幂运算和子阶乘，对67，68，70，霍格特有以下的结果：

他说霍格特是很风趣的人。有一次他讲解数学归纳法时，给了一个例子。

“一个书架上有100本书。我们被告知如果一本书是红色的（red），则它右边的书也是红色的。

如果我现在观察到第六本书是红色的，我们会有什么推论？”

霍格特举手发问：“它们都是好书吗？”

伊夫斯说：“是的。”

霍格特回答：“那么所有的书都是红色的。”

“为什么呢？”

霍格特回答：“所有的好书都会被读（read与red音相同）。”伊夫斯眨眨眼露齿而笑。

在这学院里待了一年，由于俄勒冈州立学院提供了更好的薪资，伊夫斯就到那里去教书。他觉得和霍格特分手有点遗憾。谁知在开学时，他高兴地发现霍格特也跟着转学过来了。

塔科马城皮吉特湾学院在1949年1月迎来了有“和平将军”之称的张治中将军次女张素央。她在这里留学一年，直到1950年10月在父亲写信要她回国为人民服务的要求之下，结束学业离开美国。后来到中国人民大学当体育教师。1991年移居美国纽约。

当年张素央在皮吉特湾学院时，霍格特还没有离开，可以说是她的校友。

后来霍格特创办《斐波那契季刊》，邀请伊夫斯教授做编辑。伊夫斯除了当以上刊物编辑，还是《美国数学月刊》、《数学杂志》（Mathematics Magazine）、《两年制大学数学刊物》（Two-year College Mathematics Journal）、《数学教师》（Mathematics Teacher）的编辑，而他负责《美国数学月刊》的初等问题专栏长达25年。他对美国数学教育和发展有着不可磨灭的贡献。

霍格特的硕士论文是关于庞加莱模型上的双曲三角学。其内容由他和伊夫斯在俄勒冈傍晚散步时不断的讨论所孕育而成。

伊夫斯可以说是霍格特的“数学导师”。他们的关系维系了40多年。伊夫斯在纪念文章结尾处这么写：

“在数学上，弗纳是一只夜莺（skylark），很遗憾的是，我所能表达的悲伤事实是，我再也听不到这只夜莺唱歌。

可是啊，另一方面，我很荣幸的是，在这夜莺初唱时，我就听到了美妙的歌声。”

Hail to thee，blithe Spirit！　你好，欢乐的精灵！

Bird thou never wert，　你压根儿不像飞鸟，

That from Heaven，or near it，　你从天堂或天堂附近

Pourest thy full heart　毫不吝惜地倾倒

In profuse strains of　如同行云流水一般的

unpremeditated art.　心灵的曲调。

霍格特是斐波那契数协会的联合创始人。他撰写或合写了150多篇数论研究论文（主要与斐波那契数相关），并在圣何塞州立大学指导了37名学生写硕士论文。为纪念霍格特，圣何塞州立大学特设了以他名字命名的奖学金。斐波那契数协会宣布每年为圣何塞州立大学弗纳·E.霍格特奖提供资金，该奖项每年颁发给具有最佳研究潜力的数学系学生。