整数可由三个立方数相加得出

英国数学家莫德尔（L.J.Mordell，1888—1972）在1936年证明

莫德尔

如果存在一个整数解（a，b，c，d），而－（a+b）（c+d）是一个正非平方数，则方程（3）有无穷多解。

于是他转而研究什么n会使

x3+y3+z3＝n

有无穷多解的问题。

当时他只知道n＝2a3和n＝a3的情形。

对于n＝2a3，令t是一个参数，则

x＝a+bt3，y＝a－bt3，z＝－ct2

这里b，c满足等式6ab2＝c3，给出了无穷多整数解。

对于n＝a3，这个方程无非零解。

特别地，当a＝0时，方程变成x3+y3＝－（z）3，这是费马猜想指数3的情形，欧拉给出证明是无解。

自然你会问：对什么的n，x3+y3+z3＝n无解。

我们用高斯提出的同余的概念来考虑。

如果x3+y3+z3＝n，则它对mod 9的同余有

x3+y3+z3≡n（mod 9）

我们用［a］k表示x≡a（mod 9）的同余系。

我们观察到x3+y3+z3（mod 9）只有以下可能：［0］9，［1］9，［2］9，［3］9，［6］9，［7］9，［8］9，没有［4］9和［5］9。

因此我们有1955年米勒（J.C.P.Miller）和伍利特（M.F.C.Woolett）发现的结论：

［定理］当n是［4］9和［5］9时，

x3+y3+z3＝n

无解。(www.xing528.com)

即n≡4，5（mod 9）时不能表示成3个立方数的和。

如果我们要求x，y，z都是正整数，在0＜n＜435之间，已知有解的有3，10，17，24，29，36，43，55，62，66，73，80，81，92，98，118，127，129，134，136，141，153，155，160，179，190，192，197，216，218，225，232，244，251，253，258，270，277，281，288，307，314，342，344，345，349，352，359，368，371，375，378，397，405，408，415，433，434。

当然如果允许负整数解，则n的可能解就增多了。

n＝1时，x3+y3+z3＝1

可以有无穷多解

（9t3+1）3+（9t4）3+（－9t4－3t）3＝1

n＝2时，x3+y3+z3＝2有一组无穷解系列

（6t3+1）3+（1－6t3）3+（－6t2）3＝2

人们在1999年找到n＝30的一个解

2 220 422 9323+（－2 218 888 517）3+（－283 059 965）3＝30

然而要找它的下一个解却很难。

比方说n＝3时，很早人们知道它有两个解

13+13+13＝3

43+43+（－5）3＝3

几十年来人们寻找它的第三个解，直到2019年9月布克和萨瑟兰找到一个很大的解

569 936 821 221 962 380 7203+（－569 936 821 113 563 493 509）3+（－472 715 493 453 327 032）3＝3

布朗

他们是通过50万台闲置的计算机来平行计算，如果用单一计算机相当于要用400万机时，或者456年的时间完成。

1992年，英国剑桥大学教授布朗（Roger Heath Brown）猜想对于n≢4，5（mod 9）时，x3+y3+z3＝n有无穷多解。

这是不是一个不可判定的猜想呢？目前没有人能证明。