整数可表示为两个立方数之和

欧拉为了研究费马猜想，第一个给出

x3+y3＝z3

没有正整数解的证明。

费马

在这之前的1657年，费马曾写信给他的学术圈朋友，要求考虑整数表示为立方数和的问题，例如：

他要求在巴黎的朋友把这些问题告知在英国的数学家布龙克尔（William Brouncker）、沃利斯（John Wallis）。

在巴黎为路易十四建立皇家科学院的德·贝西（Bernard Frenicle de Bessy）在1657年10月给出布龙克尔问题（1）的两组答案：

1 729＝93+103＝13+123

4 104＝93+153＝23+163

而印度自学成才的拉马努金（Srinivasa Ramanujan，1887—1920）对问题（1）有兴趣，他给出了定理：

［拉马努金定理］如果m2+mn+n2＝3a2b，

则有（m+ab2）3+（bn+a）3＝（bm+a）3+（n+ab2）3

令m＝3，n＝0，a＝1和b＝3，马上得到

13+123＝93+103＝1 729

的答案。

1729这个数字在数学史上被人称为“计程车数”，这里有一个凄惨的故事。

拉马努金来到英国，由于宗教信仰，他坚持素食主义。可是当年在伦敦不容易购买到印度的食材，他只能自己煮着吃，常常吃一顿忘一顿，结果患上肺病让他很消沉；再加上他思念远在彼洋的幼妻（年仅14岁），而他的母亲不让妻子和他联系，他有一个时期忧郁而想自杀。大概在1917年底或1918年初，他真的跑去伦敦的地铁站自杀，还好被司机及时发现。

哈代

拉马努金靠做他喜欢的数论研究，忘记自己的肉体痛苦，他可以连续工作30小时，然后昏睡20小时，再加上营养不良，使他的身体日益衰弱。他和剑桥大学导师哈代（G.H.Hardy）合作了3年，做了不少出色的工作。

哈代惋惜地写道：“1917年春天，他身体开始不好，在初夏时，他住进剑桥的疗养院，从此再不能起床了。”

哈代和他的合作者利特尔伍德（J.Littlewood）为拉马努金争取了大学颁给他一个学士（BA）学位，并且让他成为皇家学会会员（FRS），他是第一位获此荣誉的印度数学家。(www.xing528.com)

被选为皇家学会会员的拉马努金（中）与同事

拉马努金回印度后不久就去世，年仅32岁。哈代在他去世之后回忆：“我有一次去疗养院探望他，我乘的计程车号码是1729。为了使他能忘记病痛，我故意说：‘这个1729没有什么意义。’谁知他马上回答：‘这是最小的有两种二立方和表示式的正整数。’这让我吃惊。

我的好友利特尔伍德说：‘所有的数字都是拉马努金的好友。’真的是这样。”

匈牙利数学家埃尔德什（Paul Erdös，1913—1996）曾这样称誉这个前辈：“如果我们把数学家以他们的纯粹才能从0到100分打分。哈代给自己打25分，利特尔伍德为30，希尔伯特是80，而拉马努金则是100满分。”

布鲁汉

自从这个计程车号码的故事传播之后，人们用计算机研究得到了一些这类数。

2003年，新西兰数学家布鲁汉（Kevin A.Broughan）发现了判断整数是2个立方数和的定理，他的结论发表在《整数序列杂志》（Journal of Integer Sequences）上。

布鲁汉的定理是：

［布鲁汉定理］令n是正整数，x3+y3＝n有正整数解当且仅当下列3个条件满足：

（1a）存在n的一个因子m，满足，且使得

（2a）对于某些正整数l，有，而且

（3a）m2－4l是一个平方数。

以下条件等价存在n＝x3－y3有正整数解：

（1b）存在n的一个因子m，满足，而且

（2b）有一个正整数l，，而且

（3b）m2+4l是一个平方数。

人们找到以下等式F（n），当n＞4时，列出许多正整数表示成2个立方和的两种表示式：

F（n）＝a3+b3＝（2n+6n2+6n3+n4）3+（n+3n2+3n3+2n4）3

＝c3+d3

＝（1+4n+6n2+5n3+2n4）3+（－1－4n－6n2－2n3+n4）3