牛顿－莱布尼兹公式及其应用

定理4－2　如果函数f（x）在区间［a，b］上连续，F（x）是f（x）在［a，b］上的任一原函数，则

上式称为牛顿－莱布尼兹公式，也称为微积分基本定理.

为方便起见，把这样，上述公式就可写成如下形式：

✧任务解决

利用牛顿－莱布尼兹公式，计算异形螺丝侧面积最终转化为求被积函数的原函数，然后分别将左、右端点代入求差的过程，具体如下：

✧能力训练

［零件的面积］　一个工程师用CAD设计某一零件，该零件外观表面由曲线y＝ex，x轴，x＝0与x＝1所围成，绘制图形，求此零件表面积.

✧评估检测

1.求下列不定积分：

2.求下列定积分：

3.已知函数y＝f（x）的导数等于x＋2，且当x＝2时，y＝5，求这个函数.

✧拓展阅读

牛顿－莱布尼兹公式(www.xing528.com)

微积分学科的建立，归功于两位伟大的科学先驱：牛顿和莱布尼兹.其关键在于他们认识到，过去一直分别研究的微分和积分这两个运算是彼此互逆的两个过程，它们是由牛顿－莱布尼兹公式联系起来的.

1669年，英国大数学家牛顿（I.Newton，1643—1727年）提出微积分学说存在正、反两个方面的运算，例如面积计算和切线斜率计算就是互逆的两种运算，即微分和积分互为逆运算，从而完成了微积分运算的决定性步骤.但由于种种原因，他决定不向外界公开他的数学成果，他的成果只是以手稿的形式在少数几个同事中传阅，而这一决定在以后给他带来了大麻烦.直到1687年，牛顿才出版了他的著作《自然哲学的数学原理》，在这个划时代的著作中，他陈述了他的伟大创造——微积分，并应用微积分理论，从开普勒关于行星的三大定律导出了万有引力定律.牛顿还将微积分广泛应用于声学、光学、流体运动学等学科，充分显示了微积分理论的巨大威力.

牛顿是人类历史上最伟大的数学家之一.英国著名诗人波普（Pope）是这样描述牛顿的：

自然和自然的规律，

沉浸在一片混沌之中，

上帝说，生出牛顿，

一切都变得明朗.

牛顿本人却很谦虚：“我不知道世间把我看成什么人，但是对我自己来说，我就像一个海边玩耍的小孩，有时找到一块比较平滑的卵石或格外漂亮的贝壳，感到高兴，而在我面前是未被发现的真理的大海.”

德国数学家莱布尼兹（G.W.Leibniz，1646—1716年）也致力于研究切线问题和面积问题，并探索两类问题之间的关系.他把有限量的运算与无穷小量的运算进行类比，创立了无穷小量求商法和求积法，即微分和积分运算.1684年，他发表了论文《求极大值和极小值以及切线的新方法，对有理量和无理量都适用的，一种值得注意的演算》，两年后他又发表了他在积分学上的早期结果.

牛顿和莱布尼兹对微积分的研究都达到了同一目标，但两人的方法不同.牛顿发现最终结果比莱布尼兹早一些，但莱布尼兹发表自己的结论比牛顿早一些.关于谁是微积分的创始者，英国数学家与欧洲大陆的数学家经历了一场旷日持久的论战，这场论战持续了100多年.

微积分的诞生具有划时代的意义，是数学史上的分水岭与转折点，是人类探索大自然的艰苦努力的一项伟大的成功，是人类思维的最伟大的成就之一.这个伟大发明所产生的新数学与旧数学有本质的区别：旧数学是关于常量的数学，新数学是关于变量的数学；旧数学是静态的，新数学是动态的；旧数学只涉及固定的和有限的量，新数学则包含了运动、变化和无限.