定积分定义及应用高等数学机电类

定义4－1　设函数f（x）为区间［a，b］上的有界函数，任意取分点a＝x0＜x1＜x2＜…＜xn－1＜xn＝b，将区间［a，b］分成n个小区间［xi－1，xi］，其长度记为

Δxi＝xi－xi－1（i＝1，2，…，n）．

在每个小区间［xi－1，xi］（i＝1，2，…，n）上任取一点ξi（xi－1≤ξi≤xi），得相应的函数值f（ξi），作乘积f（ξi）Δxi（i＝1，2，…，n）.把所有这些乘积加起来，得和式：

记当Δx→0时，如果上述和式Sn的极限存在，则称函数f（x）在区间［a，b］上可积，并将此极限值称为函数f（x）在［a，b］上的定积分，记作即

其中，∫称为积分（符）号，f（x）称为被积函数，f（x）dx称为被积表达式，x叫作积分变量，［a，b］为积分区间，a为积分下限，b为积分上限.

符号读作函数f（x）从a到b的定积分.

∫是英文中sum（和）的第一个字母s的拉长形式.

说明：(www.xing528.com)

（1）所谓和式的极限存在（即函数可积）是指不论区间［a，b］怎样分法和ξi（xi－1≤ξi≤xi）怎样取法，极限都存在且相等.

（2）因为和式的极限是由函数f（x）及区间［a，b］所确定的，所以定积分只与被积函数和积分区间有关，而与积分变量的符号无关，即

（3）该定义是在a＜b的情况下给出的，但不管a＜b还是a＞b，总有

特别地，当a＝b时，规定

由定积分的定义可知，两个引例中的实际量可以用定积分表示如下：

曲边梯形的面积A可表示为函数y＝f（x）≥0在区间［a，b］上的定积分，即

例4－1中图形的面积利用定积分的符号可以表示为