欧拉常数γ：18世纪数学研究成果

18 世纪通过研究发散级数而获得的另一个重要常数是“欧拉常数”γ，这是欧拉在讨论如何用对数函数来逼近调和级数的和时得到的，它最简单的表示形式为

欧拉曾计算出γ的近似值为0.577218，但到现在也没有能够判断γ是有理数还是无理数。

第五公设（平行公设）

若一直线落在两直线上所构成的同旁内角和小于两直角，那么把两直线无限延长，它们将在同旁内角和小于两直角的一侧相交。

在欧氏几何的所有公设中，唯独这条公设显得比较特殊，它的叙述不像其他公设那样简洁、明了，当时就有人怀疑它不像是一个公设而更像是一个定理，并产生了从其他公设和定理推出这条公设的想法。欧几里得本人对这条公设似乎也心存犹豫，并竭力推迟它的应用，一直到《几何原本·卷Ⅰ》《命题29》才不得不使用它。

对第五公设的证明

历史上第一个宣称证明了第五公设的是古希腊天文学家托勒密（约公元150），后来普洛克鲁斯指出托勒密的“证明”无意中假定了过直线外一点只能作一条直线与已知直线平行。

替代公设：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。

几何原理中的家丑

从公元前3 世纪到18 世纪，证明第五公设的努力始终没有中断。但每一种“证明”要么隐含了另一个与第五公设等价的假定，要么存在其他形式的错误。而且，这类工作中的大多数对数学思想的进展没有多大现实意义。18 世纪中叶，达朗贝尔把平行公设的证明问题称为“几何原理中的家丑”。(www.xing528.com)

有意义的进展

意大利数学家萨凯里在《欧几里得无懈可击》（1733）一书中，从著名的“萨凯里四边形”出发来证明平行公设。

四边形ABCD中，AD=BC，∠A=∠B且为直角。不用平行公设易证∠C=∠D。

（1）直角假设：∠C和∠D是直角

（2）钝角假设：∠C和∠D是钝角

（3）锐角假设：∠C和∠D是锐角

萨凯里首先由钝角假设推出了矛盾，然后考虑锐角假设，在这一过程中获得了一系列新奇的结论：如三角形内角和小于两直角和；过直线外一点有无数条直线与已知直线平行等。萨凯里认为它们太不合情理，便以为自己导出了矛盾而判断锐角假设是不真实的。而直角假设则是与平行公设等价的。

1763 年，德国数学家克吕格尔在其博士论文中首先指出萨凯里的工作实际上并未导出矛盾，只是得到了似乎与经验不符的结论。克吕格尔是第一位对平行公设是否可以由其他公设加以证明表示怀疑的数学家。