《九章算术》内容精要

第一章“方田”讲述有关平面图形（土地田亩）面积的计算方法，包括分数算法，38 个问题。提出了各种多边形、圆、弓形等的面积公式以及分数的通分、约分和加减乘除四则运算的完整法则。后者比欧洲早1400多年。

（1）今有田广十五步，从十六步。问为田几何？答曰：一亩。

（2）又有田广十二步，从十四步。问为田几何？答曰：一百六十八步。

方田术曰：广从步数相乘得积步，以亩法二百四十步除之，即亩数，百亩为一顷。

（3）今有田广一里，从一里。问为田几何？答曰：三顷七五亩。

（4）又有田广二里，从三里。问为田几何？答曰：二十二顷五十亩。

里田术曰：广从里数相乘得积里，以三百七十五乘之，即亩数。

（5）今有十八分之十二，问约之得几何？答曰：三分之二。

（6）又有九十一分之四十九，问约之得几何？答曰：十三分之七。

约分术曰：可半者半之，不可半者，副置分母子之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之。

第二章“粟米”讲述有关粮食交换中的比例问题。书中的“今有术”给出比例式中已知三数求第四数的方法，这种方法欧洲迟至15世纪才出现。

第三章“衰分”讲述配分比例和等差、等比等问题。

第四章“少广”讲述由田亩面积求边长、由球体积求径长的算法，这是世界上最早的多位数开平方、开立方法则的记载。它奠定了中国在高次方程数值解法方面长期领先世界的基础。

开方术(www.xing528.com)

开方术曰：置积为实，借一算步之，超一等。议所得，以一乘所借一算为法，而以除，除已，倍法为定法。其复除，折法而下。复置借算步之如初，以复议一乘之。所得副之，以加定法，以除，以所得副从定法。复除折下如前。

第五章“商功”讲述各种土木工程中的体积计算。我国自远古以来，对筑城、挖沟、修渠等土建工程积累了丰富的经验，创造了许多有关土方体积计算和估算的方法，本章即为经验和方法的理论总结，诸如长方体、台体、圆柱体、锥体等体积的计算公式都与现在一致，只是圆周率取了3，误差较大。

第六章“均输”讲述纳税和运输方面的计算问题，实际上是比较复杂的比例计算问题。今有术、衰分术及其应用方法，构成了今天的正比例、反比例、比例分配、复比例、连锁比例在内的整套比例理论。西方在15世纪以后才形成类似的整套方法。

第七章“盈不足”讲述算术中盈亏问题的解法。这也是处于世界领先地位的成果，传到西方后，影响极大。盈不足术实际上是一种线性插值法。该方法通过丝绸之路传入阿拉伯国家，受到特别重视，被称为“契丹算法”。13 世纪意大利数学家斐波那契的《算经》一书中专门有一章讲“契丹算法”。

第八章“方程”讲述线性方程组的解法，还论及正、负数概念及运算方法。

采用分离系数的方法表示线性方程组，相当于现在的矩阵；解线性方程组时使用的直除法，与矩阵的初等变换一致。这是世界上最早的完整的线性方程组的解法。在西方，直到17 世纪才由莱布尼茨提出完整的线性方程的解法法则。这一章还引进和使用了负数，并提出了正负术——正负数的加减法则。这是世界数学史上一项重大的成就。

方程术例题

今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗；问上、中、下禾实一秉各几何？

正负术

李文林在《数学史教程》中指出：“对负数的认识是人类数系扩充的重大步骤。如果说古希腊无理量是演绎思维的发现，那么中算负数则是算法思维的产物。中算家们心安理得地接受并使用了这一概念，并没有引起震撼和迷惑。”

国外首先承认负数的是7 世纪印度数学家婆罗门及多，欧洲16 世纪时韦达等数学家的著作还回避使用负数。

第九章“勾股”在《周髀算经》中勾股定理的基础上，形成了应用问题的“勾股术”，从此它成了中算中重要的传统内容之一。提出了勾股数问题的通解公式，在西方，毕达哥拉斯、欧几里得等仅得到了这个公式的几种特殊情况，直到3 世纪的丢番图才取得相近的结果，这已比《九章算术》晚约3 个世纪了。