技巧总结
定理:若已知A是k的倍数,mA+nB是k的倍数,则B也是k的倍数(k为题干所给的已知整数,m、n是自己凑出的整数且不是k的倍数,A、B为已知代数式).
【例】若已知4x-y是7的倍数(x,y∈Z),3×(4x-y)+(2x+3y)=14x是7的倍数,则2x+3y也是7的倍数.此时A=4x-y,B=2x+3y,m=3,n=1,确定m,n的方法如下:
(1)找出代数式A、B中各对应项系数的最小公倍数:x系数的最小公倍数是4,y系数的最小公倍数是-3;
(2)选最小公倍数的绝对值最小的那一组,即选择-y和3y;
(3)利用最小公倍数,将-y和3y四则运算后为0,即3·（-y）+1·（3y）=0,此时得到m=3,n=1.
因此,在判断代数式的整除情况时,可以用凑系数法,看看能否凑出所求的倍数.
例4 若5m+3n(m,n∈N)是11的倍数,则9m+n( ).
(A)是11的倍数 (B)不是11的倍数 (C)是偶数
(D)是质数(E)以上选项均不正确
【解析】方法一:设k法.
即3(9m+n)=11(k+2m),又因为k,m,n为整数,故3(9m+n)能被11整除;
3与11互质,故9m+n能被11整除,即9m+n是11的倍数.(www.xing528.com)
方法二:凑系数法.
3(9m+n)-(5m+3n)=22m,显然能被11整除.
因为5m+3n能被11整除,所以3(9m+n)能被11整除.
又因为3和11互质,所以9m+n能被11整除,即9m+n是11的倍数.
【答案】(A)
例5 已知x,y,z∈Z,则x+2y+3z是11的倍数.
(1)2x+4y-5z是11的倍数.
(2)x+2y-z是11的倍数.
【解析】凑系数法.
条件(1):因为(2x+4y-5z)-2(x+2y+3z)=-11z是11的倍数,且2x+4y-5z是11的倍数,故2(x+2y+3z)也是11的倍数,又因为2不是11的倍数,所以x+2y+3z是11的倍数,条件(1)充分.
条件(2):(x+2y-z)-(x+2y+3z)=-4z,不一定是11的倍数.可用举反例法排除,令x=0,y=6,z=1,则x+2y-z=11是11的倍数,x+2y+3z=15不是11的倍数,故条件(2)不充分.
【答案】(A)
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