复杂网络上传播动力学理论的实证模拟

目前，在复杂网络的研究领域中，一个较为重要的研究方向为传播动力学。它主要涉及自然界和社会中各种复杂网络的传播机理及其传播动力学行为，并进一步对这些行为提出高效可行的控制策略。目前应用较为广泛的代表性传播模型分别为SI模型、SIS模型、SIR模型和SIRS模型。

（1）SI模型

SI模型来源于被传染后不可治愈疾病的思想［3］。SI建模中，个体一旦被传染就会一直处于感染状态。SI模型的传播机制如以下公式所示：

将群体中t时刻处于S状态和I状态的个体密度分别标记为s(t)和i(t)，λ为传染率，那么SI模型的动力学模型微分方程组可以表示如下：

（2）SIS模型

SIS传播模型用来研究能够被治愈但不能获得免疫能力的传染疾病。在SIS模型中，个体只存在两种状态：一种是易感（S）状态，另一种是感染（I）状态。该疾病或病毒传播的起源是感染个体，它通过概率α将病毒传染给易感群体中的其他个体。同时，感染个体又以概率β被治愈［4］，易感人群一旦被感染就又成为新的感染源。SIS模型传染机制表示如下：

将群体中t时刻处于S状态和I状态的个体密度分别标记为s(t)和i(t)。当易感个体和感染个体融合时，SIS模型的动力学模型微分方程组可以表示如下：

令感染率λ=α/β，该方程存在阈值λc，当λ＜λc时，稳态解i(T)=0；当λ＞λc时，稳态解i(T)＞0。其中T表示达到稳态需要的时间。

（3）SIR模型(www.xing528.com)

SIR模型适用于以下两种情形：第一，个体在被治愈后可以获得终身免疫，同时确保不再被感染疾病；第二，被感染的节点最终走向消亡［5］。模型中，个体一般有3种状态，包括易感状态、感染状态和移除（R）状态。移除状态指终身免疫和消亡。SIR模型传染机制表示如下：

将群体中t时刻处于S状态、I状态和R状态的个体密度分别标记为s(t)、i(t)和r(t)，那么SIR模型的动力学行为可以描述为如下微分方程组：

随着个体间交互次数的增加，上述模型中被传染的节点个体也会随之增加，但是，当交互次数足够多时，整个网络感染个体数量会因易感个数锐减而逐渐下降，直到感染个体数量变为0，则感染过程演化结束。因此，SIR模型在稳态时刻t=T的传染密度r(T)可以用来计算病毒传染的有效率。

（4）SIRS模型

SIRS模型适合于解决免疫期有限或免疫能力有限的信息传播问题。SIRS模型与SIR模型一样，包含易感、感染及移除3种状态。［6］SIRS模型传染机制表示如下：

将群体中t时刻处于S状态、I状态和R状态的个体密度分别标记为s(t)，i(t)和r(t)。当易感个体和感染个体融合时，SIRS模型的动力学行为可以描述为如下微分方程组：

在信息的传播扩散中，个体会由不知情者变为知情者、传播者，之后对这个消息失去兴趣并产生免疫，而当消息经过传播融入新元素后，个体又会由免疫状态重新恢复为消息的接收者，从而循环往复。因此，在上述传染病模型中，SIRS模型能够较好地诠释信息的传播扩散过程。