从整体上来说，对于高于二次的多元不定方程，人们知道得不多。多元高次不定方程没有一般的解法，任何一种解法都只能解决一些特殊的不定方程，如利用二次域来讨论一些特殊的不定方程的整数解。在这里，我们考虑两种类型的方程：勾股数方程和佩尔方程。形如x2＋y2＝z2的方程叫做勾股数方程，这里x，y，z 为正整数。
对于方程x2＋y2＝z2，如果（x，y）＝d，则d｜z，从而只需讨论（x，y）＝1的情形，此时易知x，y，z 两两互素，这种两两互素的正整数组叫方程的本原解。
【定义】勾股数是数组（a，b，c）满足公式c2＝a2＋b2。能够构成直角三角形3条边的3个正整数。
以下是一些勾股数：
（3，4，5）（5，12，13）（7，24，25）（8，15，17） （9，40，41）
（11，60，61） （12，35，37） （13，84，85） （15，112，113）（16，63，65）
（17，144，145） （19，180，181） （20，21，29） （20，99，101）（21，220，221）
大约4 000年前，巴比伦人和中国人用勾三股四弦五｛3，4，5｝的概念构造一个直角三角形。现存印度公元前800年左右的Baudhayana Sulba的《算法》（Shuba Sutra）一书记录了最早的毕氏定理（即勾股定理）。毕达哥拉斯（约前569—约前475）用代数的方法来构建勾股数。古希腊哲学家柏拉图（Plato，前427—前347）提出表达式2n、n2－1和n2＋1用于产生勾股数。
勾股数通解公式是：
a＝2mn，b＝m2－n2，c＝m2＋n2。
世界上第一次给出勾股数通解公式的是《九章算术》。第九章“勾股”：利用勾股定理求解各种问题。其中绝大多数内容是与当时的社会生活密切相关的。比如：“今有二人同所立。甲行率七，乙行率三。乙东行，甲南行十步而邪东行与乙会。问甲、乙各行几何？”显然甲行c＋a，乙行b，而（c＋a）∶b＝m∶n＝7∶3。《九章算术》先求出南行率即勾率a＝（m2－n2）/2，东行率即股率b＝mn，邪行率即弦率c＝（m2＋n2）/2。
然后根据已知南行步数，其为通解的条件是m，n 为互素的奇数，《九章算术》的两个例题都符合条件。
国外被认为最先给出勾股数组通解公式的是希腊的丢番图，其公式是：(www.xing528.com)
若令m＝u/v，c＝u2＋v2则可得到与《九章算术》等价的公式。丢番图大约与刘徽同时，比《九章算术》晚了三四百年。我国清代数学家、安徽歙县的罗士琳（1789—1853）提出的勾股数法则：取a，b为任意正整数，并且a＞b，则下式x＝a2－b2，y＝2ab，z＝a2＋b2中的x，y，z 必然是勾股数组。
【定理6】勾股数方程x2＋y2＝z2满足条件2｜y 的一切本原解可表示为：
x＝a2－b2，y＝2ab，z＝a2＋b2，其中a＞b＞0，（a，b）＝1且a，b 为一奇一偶。
【推论2】勾股数方程x2＋y2＝z2的全部正整数解（x，y 的顺序不加区别）可表示为：
x ＝（a2－b2）d，y＝2abd，z＝（a2＋b2）d，其中a＞b＞0是互质的且奇偶性不同的一对正整数，d 是一个正整数。
【推论3】如果k 是大于1的奇数，那么k，（k2－1）/2，（k2＋1）/2是一组勾股数。
【推论4】如果k 是大于2 的偶数，那么k，（k/2）2－1，（k/2）2＋1是一组勾股数。
勾股数不定方程x2＋y2＝z2的整数解问题主要依据定理来解决。
【定义】若一个丢番图方程具有以下的形式：
x2－dy2＝1，
其中d 为正整数且非平方数，则称此二元二次不定方程为佩尔方程（Pell's equation）。
佩尔方程比较复杂，将会在以后的《数学和数学家的故事》中谈及。
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