斯潘塞开发的魔三角：数学家吴鹤龄的幻方与素数

吴鹤龄的《幻方与素数》介绍了斯潘塞（Donald D．Spencer）开发的一个魔三角。斯潘塞的构造如下图，这个魔三角中有3个3阶幻方A、B、C 分布在三角形的3条边上，它的令人叫绝处是：

斯潘塞构造的魔三角

（1）C 中任一方格中的数的平方等于A 和B 中相应方格中数的平方之和，例如

402＝242＋322

（2）C 中任意2个或更多个方格中的数的和之平方等于A 相应方格中数的和之平方加B 相应方格中数的和之平方，例如

（40＋5）2＝（24＋3）2＋（32＋4）2

（40＋20＋30）2＝（24＋12＋18）2＋（32＋16＋24）2(www.xing528.com)

（40＋15＋5＋25）2＝（24＋9＋3＋15）2＋（32＋12＋4＋20）2

（3）由此可导出以下结论，即C 中任意行或列或对角线（包括主对角线、折对角线、曲对角线）中数的和之平方，等于A 中相应行或列或对角线中数的和之平方，加上B 中相应行或列或对角线中数的和之平方。

（4）进一步可导出以下结论：C 中所有数的和之平方等于A中所有数的和之平方加上B 中所有数的和之平方。

所有以上这些性质，可以用以下公式表示

C2＝A2＋B2

换句话说，可以把A、B、C 这3个幻方看成是由直角边A 和B 以及斜边C 组成的直角三角形，满足基本关系式C2＝A2＋B2。你说奇妙不奇妙？值得注意的是，这3个幻方中用的数只从1到45，其中只有12，15，20，24这4个数各被用了两次。