构造勾股弦幻方组的学者

希思（Royal Vale Heath，1883—1960）是纽约城经纪人、美国魔术师和数学谜题爱好者，1930年在他的书《数学魔术——数字的魔术、谜题、游戏》（Mathemagic—magic，puzzles，games with numbers，Dover，1953）中发表了一组幻方。

希思介绍幻方的书及书中的一个幻方组

这组幻方分别由3阶、4阶与5阶所组成，奇怪的是，这3个幻方的幻和都相同，都等于174。而3阶幻方幻和的总和是174×3＝522，4阶幻方幻和的总和是174×4＝696，5阶幻方幻和的总和是174×5＝870。 再求平方和，得：5222＋6962＝8702＝272 484＋484 416＝756 900。

这种方法称为“R法”。其特点是，每个阶数不同的幻方，其幻和相等，再求n 个幻和的平方和，使得A2＋B2＝C2，又称为“同幻和，不同阶数法”。

如下图，我们利用“R法”可以得到其幻和较小的3、4、5阶勾股弦幻方组（幻和都等于120）。

由3、4、5阶幻方，得到：32＋42＝52。即3602＋4802＝6002＝360 000。其中行列幻和、对角线幻和都是120

还可以拓广到广义勾股弦数组及3次幂和数组。在洛书中我们发现两个广义4元素3次勾股弦数组。第1组是A＝3，B＝4，C＝5，D＝6，第2组是A＝1，B＝6，C＝8，D＝9，用这两个数组可以构造出广义勾股弦幻方组，下图是A ＝3，B ＝4，C ＝5，D ＝6的广义勾股弦数组，它们满足：

A3＋B3＋C3＝D3

这4个幻方的幻和都等于240。

A，B，C，D 各个子幻方的总和分别是720，960，1 200，1 440。

计算得7203＋9603＋1 2003＝1 4403，(www.xing528.com)

即：373 248 000＋884 736 000＋1 728 000 000＝2 985 984 000。

幻和＝240的勾股弦幻方组

下图是利用第二组元素，当A＝1，B＝6，C＝8，D＝9时构造的广义勾股弦幻方组，仍然满足3次方的性质：对于拓广勾股数组1，6，8，9，我们可以造出4个幻方，来满足广义勾股弦幻方组。

设S＝1 080，则（1 080×1）3＋（1 080×6）3＋（1 080×8）3＝（1 080×9）3。

在幻方的阶数1、6、8、9中，第一个“1”代表1阶幻方，其幻和为1 080；其余的6、8、9，分别代表6阶、8阶、9阶幻方。

我们造出的1，6，8，9阶广义勾股弦幻方组如下，1阶省略。

6、8、9阶广义勾股弦幻方

有意思的是，8阶幻方与9阶幻方都具有平方幻方的性质，并且这两个幻方的1次幻和相等，即S8＝S9＝1 080。但是它们的2次幻和就分道扬镳了：经计算得：

1 0803＋6 4803＋8 6403＝9 7203

即：1 259 712 000＋272 097 792 000＋644 972 544 000＝918 330 048 000。