勾股定理的由来及广泛应用

勾股定理描述了直角三角形三条边之间的关系，我国古代把直角三角形中较短的直角边叫做“勾”，较长的直角边叫做“股”，斜边叫做“弦”。

平面上的直角三角形的两条直角边的长度a，b的平方和等于斜边长c的平方，即勾股定理的公式为a2＋b2＝c2。当a、b、c为正整数时，（a，b，c）叫做勾股数组。

最早发现勾股定理的国家是古巴比伦，在英国博物馆保存的一块泥板上有这样的记载：

“长是4，对角线是5。那么宽是多少？

没人知道。

4乘4是16。

5乘5是25。

你从25里面拿掉16，剩下的是9。

几乘几是9呀？

3乘3是9。

3就是宽。”

这段文字说明古巴比伦人知道当直角三角形的斜边是5，一条直角边是4的时候，另外一条直角边一定是3。

在美国哥伦比亚大学收藏的一块编号为Plimpton322的泥板上记录了很多例子。这是块介乎公元前2000年至公元前1600年的古巴比伦泥板。

泥板上总共有15行符号，分成5列。其中第四列相当于我们的“编号”两个字，第五列从第一行到最后一行依次是从1到15这15个数字。所以说真正有意义的其实只有前3列。第三列是斜边长，第二列是短的直角边长。最令人费解的是第一列，这一列的数字从第一行的0．983 4…逐渐减少到最后一行的0．387 16…。关于这第一列的含义，长期以来争论不休。美国威斯康星大学巴克（R．C．Buck）教授于1980年写了一篇脍炙人口的文章《夏洛克·福尔摩斯在巴比伦》。这篇文章发表在《美国数学月刊》上。巴克在这篇文章里从大侦探福尔摩斯的角度出发来研究这些数字，其结论令人吃惊不已。(www.xing528.com)

原来这一列的数字代表的是短的直角边和长的直角边比值的平方，也就是（a/b）2。如果以θ代表斜边和长的直角边的夹角，那么这第一列数字就是（tanθ）2。更有趣的是这个θ，从第一行开始，几乎是稳定的以1°的速度下降，从大约45°下降到大约30°。所以这个表还有可能是古巴比伦人的三角函数表呢。

同名图书《夏洛克·福尔摩斯在巴比伦》和巴比伦泥板

巴克认为古巴比伦人不但知道很多勾股数组的例子，而且还知道如何制造勾股数组。也就是说他们知道勾股数组的一般公式：

a＝2mn，

b＝m2－n2，

c＝m2＋n2。

巴克的结论是可信的，因为泥板涉及的最大的一个勾股数组是（18 541，12 709，13 500）。这样的例子是绝对不可能通过测量发现的，也几乎不可能通过凑巧得到。而且18 541还是个素数，也就是说这组数字也不可能是通过较小的勾股数组放大得来。所以我们确实有充分的理由相信古巴比伦人知道一般形式的勾股定理。

正因为如此，2002年1月的《美国数学会通告》的封面登载了YBC 7289泥板的照片。配的文字说明是“比毕达哥拉斯早1 000年的毕达哥拉斯定理”。

约公元前1世纪的《周髀算经》相传勾股定理是商代的商高发现的，全书第一节就记载着一个名叫商高的人，对周公讲了这样一段话：“折矩以为勾广三，股修四，径隅五。既方其外，半之一矩，得成三四五。两矩共长二十有五，是谓积矩。”这段话毫无疑问是在谈论勾股定理，而周公大约生活在公元前11世纪，商高既和周公谈话，当然是周公的同时代人，这就比毕达哥拉斯早了数百年，所以商高理应获得勾股定理的荣誉，故勾股定理又有称为商高定理。此外该书明确记载了周公后人陈子叙述的勾股定理公式：“若求邪至日者，以日下为勾，日高为股，勾股各自乘，并而开方除之，得邪至日。”

勾股定理在法国称为“驴桥定理”，在埃及称为“埃及三角形”。勾股定理在几何学中的实际应用非常广泛。相传大禹在治水过程中，“左准绳，右规矩”（“规”就是圆规，“矩”就是曲尺，由长短两尺在端部相交成直角合成，短尺叫勾，长尺叫股），运用勾股测量术进行测量，表明大禹已经知道用长为3∶4∶5的边构成直角三角形。陈子则利用勾股定理测量太阳高度。

勾股弦定理广泛应用在人民生活各方面，例如：测量土地的面积、测量距离、测量山的高度等。勾股定理把数学由计算与测量技术转变为证明与推理科学。勾股定理中的公式是第一个不定方程，也是最早得出完整解答的不定方程，它一方面引导到各式各样的不定方程，包括著名的费马大定理，也为不定方程的解题程序树立了一个规范的模式。从勾股定理出发开平方、开立方、求圆周率等。

中国古代发现了勾股定理，表述为“勾股各自乘，并之，为弦实。开方除之，即弦”

古希腊的毕达哥拉斯证明了勾股定理。相传毕达哥拉斯证明这个定理后，杀了100头牛作庆祝，故又称“百牛定理”。据有关资料报道，仅勾股定理的证明方法就有500 多种，是数学定理中证明方法最多的定理之一。但他们发现的时间都比中国的晚，中国古人是世界上最早发现勾股定理证明的人。