函数的概念及指数函数的例子

我现在要介绍笛卡儿给你们认识，他是17世纪法国伟大的哲学家、物理学家、数学家。1637年笛卡儿创立平面直角坐标系，创建解析几何，以后许多几何问题都可以转化为代数问题来研究。

笛卡儿

因为平面直角坐标系的建立，产生了函数的概念。函数就是在某变化过程中有两个变量x 和y，变量y 随着变量x 一起变化，而且依赖于x。如果变量x 取某个特定的值，y 依确定的关系取相应的值，那么称y 是x 的函数。

x，y 的关系式y＝3x＋1中，对每一个x 值，都恰好只能对应一个y 值，例如：

x＝1时，y＝4；　x＝2时，y＝7；　x＝3时，y＝10

函数就好像一个魔术师的戏法箱，只要给适当“输入”，就一定会有“输出”，而且相同的输入必定会得到相同的输出。

举例来说：若车速固定为90千米/时，

1分钟后，车子行驶的距离为1．5千米。

2分钟后，车子行驶的距离为3千米。

3分钟后，车子行驶的距离为4．5千米。

4分钟后，车子行驶的距离为6千米。

其实，由公式“”，我们知道t分钟后车子行驶的距离为

如此，我们输入的值是车子行驶的时间，输出的值是车子行驶的距离，就得到一个函数描述该车的行驶状况。

我们通常以符号来表示这个距离函数。其中f 是函数的名称（当然不一定要叫f，也可以取其他的名字），小括号里面放的是输入的时间，等式右边则是输出的距离。这个函数也可以用平面图形来表示：横坐标为输入值，纵坐标为输出值。

1775年，欧拉在《微分学原理》一书中提出了函数的一个定义：“如果某些量以如下方式依赖于另一些量，即当后者变化时，前者本身也发生变化，则称前一些量是后一些量的函数。”我们用符号f（x）表示函数。

现在给个函数的例子。在科学中，指数函数是指形如kax的函数，这里的a 叫作“底数”，是不等于1的任何正实数。指数函数按恒定速率翻倍。例如细菌培养时细菌总数（近似的）每3个小时翻倍，和汽车的价值每年减少10%都可以被表示为一个指数函数。癌细胞生长就是指数函数。

指数增长（包括指数衰减）指一个函数的增长率与其函数值成比例。指数增长模型也称作马尔萨斯增长模型。托马斯·罗伯特·马尔萨斯（Thomas Robert Malthus，1766—1834）是英国牧师，也是人口学家和政治经济学家。马尔萨斯提出不断增长的人口早晚会导致粮食供不应求。马尔萨斯在他1798年出版的《人口论》中预言：人口增长超越食物供应，会导致人均占有食物的减少，最弱者就会因此而饿死。由此推出，人类必须控制人口的增长。否则，贫穷是人类不可改变的命运。(www.xing528.com)

他提出预言时只有32岁。他论断人口是按几何级数，例如1，2，4，8，…，2n增加，而食物只是按算术级数，例如1，2，3，4，…，n 增加，因而食物供应量的增加永远赶不上人口的增加。他认为，防止人口过快的方法在历史上有两种：

（1）积极性抑制，如饥荒、灾害、疾病、战争等；

（2）预防性抑制，如禁欲、晚婚、不结婚等。

马尔萨斯断言，人口的繁殖超过生活资料的增长是任何社会都存在的一种“自然规律”。

马尔萨斯和各种指数函数图像

“你们知不知道为什么许多癌症病人包括你们的父亲被诊断有癌症后，很快就死去？”

“许多癌症是不治之症，当病人知道他们有癌症就吓死了。”莫莉说。

“是的，有一部分病人的确是吓死的。坎萨斯大学的一个电机系主任肚子痛，被诊断有大肠癌晚期，不到3天就吓死。台湾有一个老军官被医生说患肝癌末期，事实上医生看错了，那是其他人的检查报告，这位身体本来健康的老人，3天之后竟然因忧愁恐惧而去世。

但真正的原因不是这样。”

老教授从背包中取出一些相片解释：

“用显微镜可以观察草履虫，它们常用于遗传学研究，因形似倒放着的草鞋而得名，是一种单细胞原生动物。草履虫主要靠分裂来繁殖，它们是一分为二，二分为四，四分为八……”

拉姆奥大声说：“草履虫分裂惊人，一个草履虫经过6天之后竟然分裂出那么多的草履虫！！”

草履虫靠分裂来繁殖

“人的体细胞是靠有丝分裂来繁殖，它们也是一分为二，二分为四，四分为八……就像棋盘的米数增长。正常的细胞分裂是受到控制的，但是癌细胞却是没法控制的疯狂分裂，它们的分裂速度比正常的细胞快。因此如果有癌细胞出现，它不止分裂惊人，还会袭击其他正常的细胞，让它们也变成癌细胞，这就是癌细胞会迅速蔓延开来的原因。”

肺癌细胞的一分为二过程