古者丈夫不耕，草木之实足食也；妇人不织，禽兽之皮足衣也。不事力而养足，人民少而财有余，故民不争……今人有五子不为多，子又有五子，大父未死而有二十五孙。是以人民众而货财寡，事力劳而供养薄，故民争。
——《韩非子·外储说右下》
……积数百年，地不足养，循至大乱，积骸如莽，流血成渠；时暂者十余年，久者几百，直至人数大减，其乱渐定。乃并百人之产，以养一人。衣食既足，自然不为盗贼，而天下相安。生于民满之日而遭乱者，号为暴君污吏，生于民少之日获安者，号为圣君贤相。二十四史之兴亡，以此券矣。
——严复《保种余义》
一个来到已人满为患的世界的人，如果父母无力抚养他，而社会又无法使用他的劳动，他就无权得到一点食物。实际上，他在地球上就是一个多余的人。在盛大的人生筵席上，没有他的座位。自然规律命令他离去，并立即亲自执行对他的判决。
——马尔萨斯
生活的穷困，不断地压迫人类。这考虑所引出的人生观，表明了在这世间，要合理地主张人类完成可能性，是毫无希望的，从而使人强烈地寄希望于来世。
——马尔萨斯
今天黎教授走进联合市公立图书馆，图书馆管理员杰妮看到他就喜笑颜开：“黎教授午安！真要感谢您。莫莉的数学进步神速，现在她的几次小考都得满分。而且她能在课堂上迅速回答数学老师的问题，真是奇迹。”
“啊！这孩子本来就很聪明，只是以前有很重的自卑感。她一直以为自己不行。
您也知道一个人如果对自己都没有自信，就不可能迈步前进。我只是把她的自卑感解除，她知道自己是有实力的，再加上一点鼓励，她就像一只蓄势待发的良驹，可以轻易地在科学的原野上奔驰。”
“怎么讲您的功劳都不可否认。今天有什么事我可效劳？”
“是这样，我想借儿童游玩区的一件玩具来教莫莉和她哥哥数学，我想借用半小时可以吗？”
“没有问题，你们好好利用。我很好奇，是什么东西与数学有关？”
“啊！这东西就是3根杆子，其中左边的杆子放3个、4个或5个穿孔圆盘，盘的尺寸由下到上依次变小。
我们想将所有的圆盘移到右边杆子上，规则是：（1）每次只能移动一个圆盘；（2）大圆盘不能叠在小圆盘上面。
我们可以暂时将圆盘放在中间的杆上，也可以将左边的杆移出小圆盘后重新移回左边，但每个过程都要遵循上面的两条规则。
我现在把这玩具拿来。您试试看，怎么移动3个圆盘？”
黎教授首先示范1个圆盘、2个圆盘的玩法。杰妮试了几次，最后总算解决3个圆盘。过程就像下图。
1个圆盘的玩法
2个圆盘的玩法
“喔！这个游戏还不是太容易。”
“是的！那么我把这玩具带到阳台上去。”
3点，拉姆奥和妹妹莫莉一起出现在图书馆的阳台。他们奇怪老教授在玩一个幼儿玩具。
“孩子们！过来！这是一个很好玩的东西。这是1883年法国数学家爱德华·卢卡斯（Edouard Lucas，1842—1891）发明的一个游戏，叫卢卡斯圆盘游戏。”
“老爷爷！我玩过这个游戏，知道这个规则，对于3个圆盘，我可以用7次移动完成。”拉姆奥说。
3个圆盘的玩法
卢卡斯圆盘游戏实物图
“我现在给你们看他的相片，以及他发表这游戏的书的封面。(www.xing528.com)
当时他为了迎合欧洲人对神秘东方文化的好奇，故意说这是越南河内一个中国教授所发明。还编造以下的神话：说印度教的创造之神梵天在创造世界之后，立了3根宝石柱子，其中一根柱子从下到上有64个圆形金片。
卢卡斯和他的书
他要婆罗门修道者每天不论白天黑夜都把一根柱子上的金片移到另外一根柱子上，一次只能移一片，而且不管在哪根柱子，小片永远在大片之上。
只要某一天能全部搬完，世界就在一声霹雳当中灰飞烟灭，众生、庙宇完全不见。”
“有没有这个可能？”莫莉问。
“我们今天就要研究这个问题，是否真的这样。
我想让你们了解一种叫等比数列的东西，另外也了解一下什么是‘大数’。
首先，我让你们一起解决4个圆盘的问题，看要用多少次才能做到？”
兄妹俩花了20分钟的时间解决了4个圆盘问题，总共移动15次。
“孩子！现在我要告诉你们一种数列a1，a2，…，an，…。这种数列的特点是：从第二项开始，后面与前一项的比都是一个（非零）常数。这个比叫公比，这种数列（或级数）叫等比数列或几何数列。
如果公比是r，第一项是a，因此我们知道几何数列的样子是：
a，ar，ar2，ar3，ar4，…
莫莉，你判断以下是不是几何数列：
2，4，8，16，32，64，128，256？”
“是的，爷爷，公比是2，第一项也是2。”
“拉姆奥，看这个数列是不是几何数列：1，－3，9，－27，81，－243？”
“我想，应该是。第一项是1，公比是－3。”
“那么1，－1，1，－1，1，－1，1，－1，…是不是几何数列呢？”
他们犹豫一会，说：“应该是。”
“我现在要推导几何级数的求和公式
令Sn ＝a＋ar＋…＋arn－1，
若r≠1，我们有
莫莉！如果a＝1，r＝2你可以算出S1，S2，S3，S4，S5 是多少吗？”
“爷爷！我算算。S1＝1，S2＝3，S3＝7，S4＝15，S5＝31。”
“拉姆奥！你发现这些数和什么东西有关？”
“啊！这和我们刚玩的玩具的圆盘数有关系。S1 是只有一个圆盘时要移动的次数。S2 是两个圆盘，最少要3次才能完成移动。S3 是3个圆盘，我们最少要用7次才能完成移动。S4 是4个圆盘，我们要用15次移动才行。”
“对的。你的观察正确。可以用数学归纳法来证明事实也是如此。”
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