伽罗华：数学故事，中学三年级开始学习数学

非凡的天才

几千年的数学发展历史,孕育与造就了数以百计的数学大师。其中,最令人难以忘怀的莫过于年轻的法国数学家伽罗华。他在代数领域表现出的卓越才能及其开创性贡献,足以泽及后世,让人钦佩与敬仰；而他那种不屈不挠地与命运抗争的精神与毅力,又给其短暂而又多难的一生增添了几分悲壮与慷慨。在纪念这位英才去世160周年之际,让我们追忆一下他艰难跋涉的足迹吧!

伽罗华生于1811年12月25日,这正是以1789年为开端的伟大革命时代转入保守沉闷的波旁王朝复辟的历史时期。故乡是巴黎市郊的一座美丽的小城镇。父亲作为一位有责任心的自由党人,深受伽罗华尊敬与爱戴；母亲是一位法官的女儿,聪明而有教养,是伽罗华的启蒙老师。她除了教授各种基本知识外,还把古希腊文学中的英雄主义、浪漫主义情操灌输到儿子稚嫩而敏感的心中。伽罗华的童年就是在这种影响与熏陶下度过的。

1823年10月,12岁的伽罗华考入路易——勒——格兰皇家中学。但伽罗华对这所“著名”中学的教育方式并不欣赏:一方面是由于同窗共学的贵族子弟们的傲慢态度使他难以忍受,另一方面是由于教师们缺乏生气的教学方法使他失望。因此,中学的开始两年,尚未涉足数学领域的伽罗华并没有表现出特殊的才华。

终于到了中学三年级,伽罗华被批准学习数学。他一踏入数学天地,就立即表现出一种只有数学大师才具备的那种注重推理方法的简洁和清晰的非凡天赋。他痛恨内容贫乏、编排琐碎的教科书,厌恶教师只注重形式和技巧的讲课方式,于是,年仅15岁的伽罗华毅然抛开教科书,直接攻读数学大师的专著,如醉如痴:勒让德尔的经典著作《几何原理》,使他领悟到清晰有力的数学思维内在的美；拉格朗日的《论数值方程解法》和 《解析函数论》,则进一步训练了思维,开阔了眼界；当他接连读完了欧拉、高斯等人的著作后,一种自信和豪气油然而生,因而坠入数学王国的深河而不能自拔。伽罗华在数学领域中表现出的惊人的理解力与自信心,那种与传统方式、观念决裂的勇气及其选定的探索新领域的独特道路与思维方式,是其成为数学先驱的准备和象征。

承受磨炼

伽罗华的生活历程充满了挫折与磨难。伽罗华所处的时代和他特有的个性注定了他那坎坷不平的经历。

1828年,伽罗华首次报考当时巴黎最负盛名的学校——综合技术学校,但未能如愿。只好转到数学专业班学习。在这里,33岁的里查教授在学习、生活等各方面对伽罗华产生较大的影响。这是一位才华横溢、热情宽厚的教师,他讲课优雅,思维清晰,并具有发掘科学英才的敏锐判断力和高度责任感,因而他发现并培养了伽罗华、天文学家维里叶、数学家厄尔米特等人。

里查教授一开始就认为伽罗华是一位天赋极高的少年,并指出他只宜在数学的尖端领域工作,他给了伽罗华无微不至的关怀与帮助。就在这一年,年仅17岁的伽罗华,在里查教授的鼓励与指导下,写出了第一篇学术论文—— “关于五次方程的代数解法问题”,并向科学院提交了备忘录。尽管这篇文章受到轻慢和冷视,但它标志着伽罗华数学研究工作的开始。

对伽罗华而言,1829年确是一个多事之秋。伽罗华的父亲由于忍受不了保守派的恶语中伤而饮恨自杀,相依为命的伽罗华母子经济无援,生活十分拮据。在这种情况下,伽罗华一方面坚持学习、研究,挑灯夜战,另一方面又要帮工、扛活以维持生计。他经过充分的准备后,再次义无反顾地投考巴黎综合技术学校。对这次考试,伽罗华可谓信心十足。因为他相信,自己在代数方程理论方面取得的成果一定会吸引这所很注重数学成绩的名牌学校。

然而情况大大出乎伽罗华的意料:主考人对伽罗华介绍的成果毫无兴趣,相反地还故意提出一些稀奇古怪、错综复杂的问题刁难他,这使伽罗华十分恼火。他请求主考人注意他的发现,但主考人对此放声狂笑。看到自己心爱的成果和课题遭人讥讽,伽罗华再也忍受不住了,他不顾一切地将擦黑板布扔向主考官,心碎而去。就这样,这所名闻遐迩的学校再次无情地把这位天才拒之门外。伽罗华显然不是那种备受社会注目和特殊培养的骄子,相反,面对的却是社会的压制、命运的挑战、接二连三的打击。但是,年轻的伽罗华并没有屈服,他忍受着失去父爱的悲痛和两次落考的耻辱,带着深切关怀着自己命运的里查教授的希望和嘱托,来到师范大学接受深造。(www.xing528.com)

在师范大学,伽罗华怀着极大的热情相继写出数篇研究论文,但均未得到足够的重视。前面提到的“关于五次方程的代数解法问题”,由科学院转交柯西审查。但柯西认为,伽罗华在研究报告中所阐述的内容并没有什么惊人之处,正像高斯对待波耶的非欧几何论文一样,柯西保持了一种冷静与沉默的态度,只是建议伽罗华写出详细的报告,去参加科学院举办的数学大奖赛。伽罗华将论文按要求修改后又送呈科学院,但因此时柯西已离开法国,文稿转由傅立叶审定。不幸的是,傅立叶去世,文稿意外丢失。这使伽罗华在学术上又失去了一次被肯定的机会。1830年底,科学院把手稿遗失的消息通知了伽罗华。不久,伽罗华完成了“关于用根式解方程的可解性条件”一文,院士泊松等人虽绞尽脑汁,但对此成果无法作出正确的判断,更未发现其中包含着划时代的数学思想,因而以“完全不能理解”为由予以退回。

伽罗华真可谓生不逢时。试问,还有比自己的研究成果不被人理解与承认更大的打击和挫折吗? 倔强的伽罗华没有退缩,而是直面人生,更加顽强、愈加艰难地工作、战斗,在“磨砺”中不断开拓、完善。

难以遮掩的光芒

确实,伽罗华的思想是那样深邃,以至于当时的知名学者都难以估量这项工作的价值。现在看来,尽管伽罗华的数学研究是围绕代数方程的根式解展开的,但对于整个数学界的影响却远非如此。我们不妨从数学史谈起。

在公元前20世纪左右,巴比伦人就能解二次方程了。16世纪欧洲文艺复兴时期,意大利数学家找到了三次方程的求根公式,不久,费尔拉里又发现了四次方程的根式求解方法。正当数学家们踌躇满志地向五次方程及更高次代数方程进军时,遇到了料想不到的困难,各种努力均告失败。拉格朗日称之为“好像是向人类智慧的挑战”,他透彻地分析了前人所得到的次数低于5的代数方程的解法,机智地预见到也许5次以上的代数方程无一般的公式解(但未能给出证明)。1824年,年轻的挪威数学家阿贝尔证明了拉格朗日的这一设想,从而摘取了数学皇冠上的一颗明珠。不过,其证明并没有给出一个准则来判定一个具体数字系数的高次代数方程能否用根号求解。他们的功绩不容抹杀,但与伽罗华的光辉成就相比就逊色多了。伽罗华一开始就表现出自己的风格:他感兴趣的不是具体的数学问题,不是研究高次代数方程所得出的具体结论,而是解决这些问题的一般方法,是能概括这些具体成果并决定数学长期发展的深刻理论。

在伽罗华以前的数学家,总是努力从已知概念和定理出发寻求新的证明,致力于数学技巧的竞争,而伽罗华所走的道路乃是寻求新问题所需要的新名称、符号,即首先进行概念的突破,然后用新概念来构造新证明。伽罗华用非常独到的思路研究解方程的步骤,注意到方程根的对称性以及根变换之间的关系,定义了“群”的概念,并给以活的灵魂。伽罗华的工作不是研究方程本身,而是研究与方程密切联系的变换群,这样就使方程的特性反映在变换群的特性上,因而弄清了群的规律性,也就透彻地解决了方程的求解问题。更重要的是,群所处理的是抽象的对象,由群的理论研究获得的一般结果,带有深刻的普遍性。因此,以群论为代表的数学理论,是处理问题的一种深刻的现代数学方法,为其他研究提供了有力的数学工具。这种理论对于近代数学、物理学的发展,甚至对20世纪结构主义哲学思想的产生,都产生了深远的影响,具有划时代的意义。但由于当时人们沉醉于对形式和技巧的盲目追求,旧时代数学家未能理解伽罗华的数学研究,因此,直至1846 年 (而此时伽罗华已去世14年),这些主要成果与见解才发表在刘维尔创办的 《纯粹数学和应用数学杂志》上,以及约当1870年出版的 《置换和代数方程专论》一书中。这样,伽罗华超越时代的天才思想逐渐被人们理解和承认,并发展成今天这样一门博大精深的基础学科——近世代数。

淘尽黄沙始见金。随着科学的发展,人们越加认识到伽罗华思想的价值。伽罗华也因之得到他生前没有得到的荣誉和尊敬。

我们纪念伽罗华,这不仅因为他是一位杰出的数学英才,而且还因为他是一位勇敢不屈的战士。一方面,当自己的成果和才能不被理解和承认时,他没有消沉,没有气馁,而是更积极地研究、探索；另一方面,他又以战士的姿态积极投身于争取社会进步的革命活动中,坚强不屈,视死如归。伽罗华生活在经历了资产阶级大革命后的法兰西,生长在压制革命摧残人才的波旁王朝复辟时期,他不是那种害怕社会斗争的急风暴雨而躲进科学象牙之塔中的人,而是始终站在人民斗争的前列。1830年 “七月革命”期间,他因参加“民友社”、抨击学校子监不支持革命等而被开除,又因率众游行而以政治罪两次被囚禁。所有这些都没有使伽罗华屈服,他把科学理想和社会信念结合起来,不论在数学王国,还是在现实斗争中,至死保持着对真理的忠诚。监狱生活也阻止不了伽罗华的数学研究。这时他对法国科学院已经完全失去了信心。他一边整理已经取得的研究成果,修改关于方程论的论文并在椭圆函数方面作深入的研究,一边着手撰写准备为以后出版著作时用的序文。1832年4月29日,伽罗华获释出狱治病。几个月的囚禁生活严重摧残了他的身体健康,内心也饱受痛苦和愤懑。他原计划离开巴黎继续从事他的研究。但路遇不速之客,相约于5月30日决斗。结果造成重伤,于次日凌晨离世,时年不满21岁。决斗前夕,伽罗华考虑到可能产生的后果,因此郑重其事地写了几封信。在致全体共和派的信中,他写道:我请求我的爱国朋友们不要责怪我不是为自己的祖国而献出生命。伽罗华在生命的最后时刻还想着祖国、人民、战友；伽罗华还深深惦记着他一生为之奋斗的事业——数学,他匆忙中还精心地将研究成果扼要地写在字条上,并附以自己的论义手稿,留给了他的好友舍瓦烈,并请他“公开向雅可比和高斯请教,并建议他们发表自己的意见,但不是谈理论的正确与否,而是谈这些理论的意义和价值。”看来,伽罗华寄希望于德国数学家,希望他们“仗义直言”,并指引后人对他所留下的问题深入研究。

孰知不向边庭苦,纵死犹闻侠骨香。伽罗华过早地告别了他驰骋的战场,但他的精神及其开创的事业流芳百世。有人说,他的死,使数学进展延缓了数十年。是的,这不仅仅是伽罗华的悲剧,也是数学的悲剧。但是我们又有什么理由来指责这位不足21岁的年轻人呢? 两次投考综合技术学校而落选,研究成果不被人理解与尊重,父亲自杀,被师范大学除名,两次囚禁……伽罗华终于满怀惆怅地倒了下去。

伽罗华作为一个天才的数学家,不仅巧妙地运用置换群这一工具,透彻地解决了在长达200多年的时间中令不少数学家伤透脑筋的问题,而且由于其独特的数学思想与巧妙方法,成为无可争辩的近世代数创始人；伽罗华作为一名勇敢顽强的战士,不仅执着地追求、捍卫数学真理,而且坚决地与命运、保守势力抗争。因此,伽罗华的名字令人肃然起敬,伽罗华的成绩值得我们珍惜,伽罗华的精神更将鼓舞我们不断地去攀登、开拓。