洪加威：数学家的故事

初露才华

早在中学时代,洪加威在数学上就已才华绽露。

那是在刚上初二的时候,一天,他看到上高中的哥哥在解这样一道数学题:两个正方形,一大一小,问切成几块后能拼成一块大的正方形。看到哥哥和他高年级的同学都在为此而冥思苦想,洪加威好奇地拿来题目,不料很快就把它做了出来。大家的夸奖并没使他中断思考,他又在想:到底什么样的两块图形能够切成有限块互相拼来拼去呢?

当时的《数学通报》上经常刊登一些数学难题征解,他非常喜欢动脑筋去解几道难题,随着本领的渐渐增长,他终于把上面的问题的一般性定理独立做了出来。

上了高中,洪加威更迷上数学了,这里面有诗画一般的意境,深入进去会使人流连忘返。他开始试着把自己想出的一些定理加以证明 (实际上前人已证明),然后就写成一篇篇“学术论文”,不料有些文章还被当作学生习作在杂志上发表了。

数学成绩的突出并没有使洪加威因而影响全面发展,他的兴趣太广了。下棋、拉琴、作曲、演戏以至于集邮、航模,他简直无一不爱。各门功课的成绩都非常出色,使得他的中学老师对他格外器重:“好好学,不久的将来一定能成为科学家的。”是的,洪加威对此也充满了信心。

1955年秋,洪加威以优异的成绩考上了北京大学数学系。从此,他告别了父母、老师,告别了培育他5年的母校南昌一中,来到这座向往已久的科学家的摇篮,美丽的燕园。从小就活泼好动的洪加威,在这里更是如鱼得水,他身体健康,性情爽朗,多才多艺。他是北大民族管乐队的二胡演奏手,绘画和书法也很不错。在学习方法上,他更喜欢标新立异,看数学书,别人仔细看定理的证明,而他却把一条定理都当作习题做出来。出色的学习成绩,很快引起了老师们的注意和好评。

到了高年级,系里开始分专业了,洪加威专攻数理逻辑和计算机专门化这个年轻的数学分支。数理逻辑课上,洪加威的才华受到系主任段学复和丁石孙老师的赏识,他们觉得像他这样有才能的学生在经历中是不多见的。过了不久,计算机程序理论课程也开设了,洪加威第一次领略这门年轻学科的风采。当时在这个领域的研究,我们和日本是大体上同时起步的,以洪加威当时的状况,如果继续深造,取得突破性的成果是可以预期的。然而,1958年 “红专辩论”开始了,他作为“白专”典型受到重点批判。从此,他的成才之路荆棘丛生,为了实现学用一致的愿望他付出了整整18个春秋。

种种考验

1960年,23岁的洪加威在北大毕业了。这位难得的高材生,即没能到科研部门,也没能留在高等学府,而被分配到北京市计量管理处标准化科当科员。那时,丁石孙是“反右倾”运动重点批判对象,段学复实际上成了一个挂名的系主任,对洪加威的分配,虽深表惋惜,但都爱莫能助。

刚参加工作的洪加威还是想认认真真干点像样的事情。他认真学习了许多政治理论著作,决心走出一条了解和认识社会的新路。他打起背包,主动到京郊各地去搞实地调查。没过多久,他就根据实地了解,写出了《北京昌平县小农具质量情况的调查》、 《北京市皮、布鞋质量情况的调查》等10多篇报告。几个月后,《人民日报》发表了一篇重要社论《大兴调查研究之风》,洪加威的实践得到了证实。

在市计量处积极工作的同时,对于研究数学理论的渴望,有时又使他禁不住在同事们喝茶聊天的时候抽空读点专业书,演算几道数学题。不料这件事引起了旁人的不满,想抓紧时间多学点东西却被指责为 “种自留地”,闹得他很苦恼,名声还挺“臭”。他曾提出请求调换一个和专业接近点的工作,但在当时那种科技干部 “单位所有制”的条件下,他也只得照样天天干着近乎 “打杂”的工作。“难道从此就这样离开心爱的数学了?”洪加威心里实在想不通,他感到茫然。

1962年,广州会议后国家制订的 “科研十四条”下达了,在职人员有报考研究生的机会。洪加威满怀信心,跃跃欲试。深谋远虑的丁石孙老师,早就认为洪加威去搞计算机领域最能发挥他的特长,就介绍他去报考吉林大学王湘浩的研究生。王教授是搞计算机科学方面的权威,洪加威是多么希望能投考这个专业啊! 他马上向领导提出请求,但得到的答复是不能去外地上学,要考只能考北京的。但北京当时并没有招收这方面专业的研究生啊,这不是明摆着不让考吗?这样就放弃吗? 不,改考别的专业。他立即找到了原系主任段学复,段先生很同情洪加威当时的处境,鼓励他改学“群论”。可洪加威原不是学习代数专业的,离考试期只有两个月了,他只有奋力拼搏才有希望。白天上班,只能利用早晚攻读,即使乘公共汽车他也争分夺秒看几页书..这一年招考研究生是解放以来最严格的一次,题目很难。段先生为能让洪加威有回旋余地,特意出了比规定多一倍的题目供部分选做,出乎意料的是,在指定的考试时间里,洪加威竟出色地答出了全部考题,终于成了段学复的研究生。然而就在同时,他却因患肺结核而病倒了,一个新的考验又降临了,为了能保全这个难得的学习机会,洪加威决定抱病从师。

群论,是代数学里的一个重要分支。段学复教授早年曾在加拿大和美国留学,在有限单群方面颇有建树。洪加威在很短的时间里就读完了段先生指定的代数基础课程,接着他开始攻读群论方面的英文专著 《有限群的模表示论》。一年以后,他参加了由段教授和王莒芳老师主讲的一个群论讨论班,尽管“四清”运动使讨论班受到影响,但它还是始终坚持下来了。良师益友加个人勤奋,洪加威登堂入室,很快就到达了这个领域科研的前沿。1965年,他完成了一篇数学论文《关于P (KP＋1)(KP＋2)阶的单群》,它的水平已相当于国外一篇很好的博士论文。13年后,这篇论文被评为全国科学大会重大贡献成果奖。然而,洪加威当时对这项工作总感觉有点不过瘾,他希望能搞点更具有开拓性的和更有思想性的工作。接着,他相继又写了第二篇、第三篇论文。使段学复先生多年感到遗憾的是洪加威的第三篇论文,这篇论文里涉及一个找到世界上第六个零散单群问题,因为前五个“零散单群”是20世纪以前人们发现的,段先生十分了解当时洪加威的研究进展,觉得如果再深入一步成功大有希望,然而人为的因素终止了这项研究。不久终于让国外同行抢先找到了第六个零散单群。

1965年底,洪加威卓有成效的研究工作中断了,他还是被专业不对口的原单位要回。疑惑,苦闷,忧虑。3年多的艰苦努力结局竟还如此……洪加威的肺结核加重了,无情的手术刀切除了他的右肺下叶。接着,摧毁科学文化的风暴席卷而来,使他陷入更加困难的境地。

1969年,洪加威被下放到京郊南口人民公社七间房大队接受“再教育”。由于他机敏好学的特点,很快竟当上了大队的赤脚医生和公社的农业技术员。在这个广阔的天地里,再去研究群论是没有希望了,但不久,推广优选法的热潮把他吸引住了。搞不成群论,研究一下应用数学总可以吧! 当时,优选法中的一个基本的问题:黄金分割法为什么是最优的问题始终没有人能解决。洪加威细心研究了这个领域,他一面劳动,一面冒着很大的政治风险,利用工余搞研究。很快,在极缺乏资料的情况下,凭借他十几年的雄厚数学基础,黄金分割为什么最优的问题被彻底解决。他把写好的《关于一维优选的理论研究》一文寄给了当时正在搞优选法推广工作的华罗庚教授,华罗庚看到后很希望把他调到自己身旁工作或安排他到有关研究所工作。然而,在那种动乱岁月中,像他这样一面学生时代的 “白旗”,文革期间他的父亲——一位老工程师,也因莫须有的罪名被赶回原籍,又使他蒙上家庭成份不好的阴影,他自然被种种理由拒之门外。

几年里,洪加威为了能有一个用他所长的工作岗位,四处奔波,想尽办法,然而所有单位的回答都是 “不要”。难道我的事业就此为止了? 此刻,他开始感到彷徨、沮丧,生活已是第三次向他开了大玩笑,他似乎不再抱什么希望,因为希望的结果往往带来更大的失望。此时的洪加威,从一个对国家民族,对自己都充满希望的热血青年,仿佛一下子变成另外一个人。此后,画画、下棋、音乐,甚至烹调、缝纫成了他发挥聪明才智的地方,最富于创造性的年华就这样一天天地消磨过去了..

平静的生活使他渐渐冷静下来,他时常感到空虚和不安。后来他想,作为一个普通的中国人,一个受国家培养多年的知识分子,总应该为国家、民族做点最有价值的事,站着等,不如干着瞧。这样,一旦有用武之地,也不致悔恨自己蹉跎岁月。即便等不到那一天,在我们临终的时候也可以对自己说:我一生虽无做成什么大事,但对生我养我的祖国母亲,也不能算是交了张白卷吧。从此,他更加发愤了。为了进城求知识,他只得经常借宿同学家,有时干脆躺在西直门火车站的长椅上过夜。为了想一个问题,他甚至可以几天几夜不睡觉。十几年没有一个固定专业,他不得不在数学许多分支里东碰西撞。然而,这却激励了他,磨炼了他,他期待着有朝一日能在事业中大显身手。

XY 语言的研制

1974年,洪加威终于结束了5 年之久的 “下放干部”生活,来到刚成立不久的 “北京市计算中心”工作。在这里,尽管他在理论研究方面的优势难以施展,但他很快就在计算机应用方面发挥了巨大的创造才能。

事情是这样的,70年代初,我国开始生产一种加工精度很高的数控机床。经过几年这一新产品就已遍及全国各地,成为各工业部门用来制造模具和加工精密零件的重要工艺装备。然而,这一先进装备在当时却拖了我国模具生产的后腿。

原来,所谓“数控”机床就是利用数字来控制机床的运行。每当生产一个零件时,工人们必须根据图纸进行计算,再把计算数据做成一卷凿着一个个圆孔的纸带装入一台光电机里,它就能“指挥”机床自动加工零件。然而,这种靠手工编制加工程序的方法非常麻烦,有时工厂为了编出一套模具程序,组织五六十人“会战”三四个月,但是在机床上一加工,零件却成了废品,原来不定是谁又计算错了! 难怪有的老工人说:“我国线切割机床的切割速度是世界第一流的,但手工编程却是老牛破车!”

为了解决当时我国模具生产直接面临的 “老大难”问题,看来只有请计算机“出马”了。

北京、上海等许多拥有计算机的研究部门、大专院校都投入力量开展了这项应用计算机进行自动编程的研究。所谓自动编程,就是要先给电子计算机编制一个 “软件”,只要把模具图纸的形状、尺寸告诉它,这个软件就可以指挥计算机自动地计算、编程,并输出一条控制模具加工的纸带。当时在美国已有一套大型数控语言——APT 语言,但直接在国内使用它还有许多障碍。因此,许多研究部门都想把APT 语言搬用一部分内容,经改造用于线切割机的自动编程。

北京计算中心也投入这项研究工作。外地取经、下厂调查,大家从不同渠道,热火朝天地搞起这个“迫在眉睫”的课题来。

洪加威在实际接触中感到,美国的APT 语言尽管是一种高级数控语言,但对我国线切割行业的实际问题存在着许多不便之处,它在设计上也有许多缺点。“我们何必都只在APT 语言上做文章呢?”洪加威心想, “应当根据面临的实际情况,搞一个新的语言系统。”

他根据自己的初步想法拟定了一个方案,但刚一提交就被否决了。“自己搞一个语言系统难度太大了,还是借鉴美国的APT 型照搞一个吧!”有人说道。

少年时代就形成的强烈创新意识没有使洪加威就此罢休。“不,要搞就应创新,要自己设计搞中国式的。”他决心已定,宁可单枪匹马,也要大干一场。

1976年深秋,洪加威在一间矮小的地震棚里,开始了紧张的设计工作。搞一个应用系统的软件,对一个人来说的确是件异常艰巨的任务。在这项工作里,洪加威多年养成的“注重方法”的特点得到了充分的发挥。新起炉灶,重新设计一个像APT 那样的大型数控语言,至少要花费几十个人一年的工作量,这条路显然行不通。如果在某种现成的算法语言上简单地添一点内容,来实现自动编程的功能,工作量虽小,但它的功能不强,工厂的同志用起来也很不方便。洪加威处心积虑,终于想出了一个两全其美的办法。当时国产计算机上使用一种科学计算语言——BCY 系统,他十分巧妙地给这套语言系统做了一个 “大手术”。打个比方,如果把计算机比做一个花盆,把原有的BCY 语言系统比做生长在盆中的一片大的仙人掌,那么,洪加威设计的这种线切割语言就好像是嫁接在仙人掌上的蟹爪莲,由于它可以从母体中吸收更为丰富的营养,所以它的枝叶更为繁茂,它的花朵兼有二者的特性。为了使这套语言最精练、最有效,洪加威用上了一切可能的方法,夜以继日地赶写着。

仅仅一个月,手编程序就完成了。下一步要在计算机上进行调试,对这套程序做逐项检查。然而,当时计算中心的计算机总是忙得昼夜运转,像他这样的 “单干户”,就更难有足够的机时。出于无奈,洪加威马上想出了一个“高招”,他调试之前设计好一个通用的模拟程序,利用别人停机做准备工作的空隙,就能很快地上机打出一卷他所需要的数据,从这些数据纸带上,就能方便地获得调试手编程序所需要的一切。这巧妙的方法竟使调试应花时间奇迹般的缩短了。

3个月之后,一种高效的国产线切割语言诞生了。根据特征,洪加威给它起了一个响亮的名字——XY 语言。

1976年以前,我国计算机基本用于科研,XY 语言是第一个被广大工厂、工人所接受的直接用于生产第一线的应用软件。洪加威在设计语言时考虑到,要想迅速使自己的研究化为生产力,就必须在语言的易于普及上下大功夫。因此他在设计时将大量难度较大的专门知识 “隐藏”在软件内部,同时采用中文和拼音描述模具。这种“深入浅出”的处理便于记忆,易于书写,语言精练,容易掌握,功能极强。投入使用后,工人们反映:这个语言降低了线切割编程人员文化水平要求,清除了对计算机的神秘感。一般具有初中文化程度的人,学上3天,就能掌握。

如同一篇结构严谨、结论漂亮的数学论文,XY 语言中倾注了洪加威那精湛的数学造诣和良好的美学修养。因此,XY 语言一诞生就显示了它的巨大生命力,受到生产部门同志的一致称道。首先,众多的“老大难”模具编程问题被解决了。某工厂过去想生产一种 “人形杠杆”,由于它形状奇特,几次手算都算不出来,先后拖了两年之久,但XY 语言一上马,这个技术难关只消半小时就被迎刃而解了。一些过去认为形状古怪难以计算的零件,现在却能在很短的时间内用这套语言编出程序。同时,由于在编写上极为严密准确,使得这套语言体系所有语句都准确无误。多年使用XY 语言的同志都知道,凡计算上出了毛病,一定是计算机硬件系统出了故障,因为软件绝无问题。这套语言投入使用后的近10年里,竟不需要修改任何一条指令,也没有碰到一个解决不了的线切割编程问题,这在同行业中是极罕见的。它足以反映洪加威当初设计时的良苦用心。1980年一位美籍华人软件专家回国时看到XY 语言及其应用高兴地说:“想不到,祖国在这方面有这么高的水平。”美国耶鲁大学计算机科学系一位教授1984年回国看到它时说:“今天把这种语言开发到美国去都是很受欢迎的。”

科学技术一旦被开发出来,交给生产者掌握,就会迅速化为生产力。计算中心和北京机电学院的许多同志,为了能让XY 语言更好地服务于生产第一线,开展了大量艰苦、细致、深入的工作。

试用、扩充、移植、推广,一期期XY 语言培训班之后,回报的是祖国各地生产第一线同志们一封封热情洋溢的感谢信。“这个语言解决了我厂生产关键,我们不再依靠进口,节省了大量外汇..”“工艺的精度问题解决了,全厂职工向你们致敬”

洪加威他们的科研成果,经过9 年多的开发、推广工作,今天已成为我国模具行业的关键技术,创造着巨大的物质财富,有着深远的社会效益。有人算过一笔账,一套模具本身价值在千元以上,每套模具又要生产出千千万万个零件,每套模具产生的直接经济效益以1万元计,9年来其经济效益也在100亿元以上。这项成果终于在1985年获国家级科学技术进步二等奖。

XY 语言的研制成功,并没有使洪加威停步不前。他,又在思考着更新的研究课题。十一届三中全会召开以后,党制定了一系列关于大力发展科技、实行对外开放的政策,像春风吹遍了祖国大地,也吹暖了洪加威那颗曾一度饱受苦闷和失望的心。少年时代立志成为优秀科学家的梦想又在向他招手,他鼓起勇气,决心攀登计算机理论的世界高峰。

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1978年初,美籍华裔著名科学家王浩教授来华访问,经丁石孙介绍,王浩了解了洪加威的工作能力,回国后他把这些情况及洪加威早年在《中国科学》上发表的两篇论文介绍给国际计算机理论界的权威——多伦多大学的柯克教授。第二年10月,洪加威受柯克邀请,以客座教授的身份去多伦多和美国研究和讲学。正是这次北美之行,洪加威以他那机智幽默的性格和极出色的工作,给北美许多科学家以及整个计算理论界留下了难以忘怀的印象。

在十二届计算理论会议上,洪加威作为第一个中国代表以“三个中国人的故事”深入浅出地介绍了他出访后的第一篇成果《关于决定性空间完全性问题》。在这之前,理论界的许多学者找到了时间的完全性问题,非决定性空间的完全性问题,但一直没有找到决定性空间完全性问题。报告一结束,洪加威和他的故事立即成为会议间学者们的话题。几十位著名科学家争先前来道贺。“这真是三天会期间最好的报告。”“听你的报告真是一种享受。”

不认识他的人都在问: “这个报告人是谁? 你认识吗?太好了!”

大会闭幕这一天,洪加威一下子接到了美国许多大学的邀请。

斯坦福、麻省、康乃尔邀他去演讲。

伯克利、罗彻斯特邀他去教学。

卡内基一梅隆大学邀他去研究。

于是,会场上纷纷传说:“三个中国人的算法”已经被10个大学请去工作了。

但是,最让洪加威高兴的,却是会议主席米勒告诉他的话: “ACM 过去跟中国的联系太少,以后一定要特别加强。”

洪加威在ACM 会议上宣读的第一篇论文,虽然赢得国际学者的普遍好评,但他真正的重大成果还在后面。在多伦多做研究时期,使他有机会了解计算理论界的最新动向和一系列重大课题。纵观这一领域几十年来的风云变幻,一个重大的突破性课题在他胸中逐渐酝酿成熟。

1980年10月13日,在美国纽约州西诺求斯市,第二十一届计算机科学基础会议隆重召开。这是国际上理论计算机科学中最重要的会议之一,具有最长的历史和最高的水平。这天到会的代表,包括许多第一流的著名计算机科学家,卡尔普、罗宾,还有柯克教授,他们都带来了最重要的成果。

10月15日,洪加威带着自信的微笑走上这庄严的国际讲台。600多人济济一堂,聚精会神地听着这篇具有开创性的学术报告《计算的相似性与对偶性原理》。

“自从图灵论题提出以来,我们知道,不同的计算模型是等价的。但我最近得出,任何合理模型所使用的并行时间、序列时间和存储空间在本质上都是一样多的,即具有所谓的相似性..”洪加威用流利的英语做了开场白。轰鸣般的掌声中洪加威结束了讲演。多少计算机科学家用敬慕的眼光看着他,他把现代计算机科学的基础——图灵论题,从本质上向前推进了一步。“真是太漂亮了,一个惊人的报告!”著名学者鲍罗廷感慨地说道。下届大会主席罗森伯向洪加威表示祝贺时说:“你的报告不仅在成果上是杰出的,在报告艺术上也是超群的。”加州大学卡尔普教授在给洪加威的一封信中写道:“听你杰出的报告是一种巨大的享受,你的研究是计算机复杂性理论中迄今所得的最杰出的成就。”

为了说明洪加威这篇论文究竟有什么重大意义,我们还要从图灵论题谈起。

千百年来,数学家们都确信这样一个事实,凡是正确的数学命题,就一定能找到证明的方法。然而,德国数学家哥德尔在1931年发表了一篇爆炸性的论文,它证明了有些正确的数学命题是不可以被证明的。这个结论把一个重要的数学难题摆在了人们的面前:怎样判断一类数学问题是机械可解的,或者说能通过有限的固定步骤得到解决? 正当许多大数学家一筹莫展之时,英国一位24岁的数学家图灵异想天开地搬出了一种 “理想计算机”,并且说,凡我这台计算机能算出的,就是可计算的,凡我这台计算机算不出的,就是不可计算的。这就是赫赫有名的 “图灵机”。那么是不是一切判断能否计算问题非要在图灵机上定义,用别的计算模型就不能定义呢? 接着,图灵提出了这样一个论题:只要在一个模型下可以计算,那么在别的“合理”的模型下也可以计算,你能算的我也能算,你不能算的我也无可奈何。这便是日后被称为计算机科学基石的图灵论题。

然而,图灵只考虑任何数学问题在理论上是否可计算,却没有研究实际当中能否计算的问题。换句话说,即使现代最快的计算机,也仍得考虑时间的因素。举个例子来说,写出26个英文字母的全部排列,即使一架机器每秒能写一亿个排列,也需要好几亿年才能完成。由此可见,计算问题光考虑能否计算还不行,还得讲点 “效率”,这便是当今计算理论界最热门的复杂性问题。

洪加威刚刚跨入这个领域时,正值理论界群星荟萃,百家争鸣的年月。许多有名望的学者都在不同侧面、具体问题上探索着复杂性理论。他没有把精力耗费在别人的成果上做些添枝加叶的工作,而是以高屋建瓴之势,洞察到了复杂性理论关键问题的所在。他把图灵论题推进了一大步,提出了这个轰动理论界的相似性原理。这个原理指出:不但各合理模型能否计算的问题是一样的,而且计算模型所用到的三种资源:并行时间,串行时间及存储空间在本质上一样多。它表明,不仅计算的可能性是客观实在,而且计算的复杂性也是一种客观实在。

“会当凌绝顶,一览众山小”。作为一个出色的科学家,不仅需要有滴水穿石般积累起来的扎实功底,更需要具有那种能透过具体问题,观其大略、扭转乾坤的气魄。相似性原理不仅统一了所有的计算模型,而且统一了所有的计算类型。因而它已成为现代复杂性理论中的重要的基础工作之一。

加拿大多伦多大学计算机科学系主任鲍罗廷写给我国有关负责人的信中说:“洪加威的论文是质量很高的研究篇章。我认识到,这些论文对我的思路和我的同事柯克教授和拉道夫教授的思路都产生了影响。洪加威已成为对我们系做出巨大贡献的人。”

新的想法

19世纪,印度哲学家辨喜说过:“最伟大的东西是世界上最简单的东西,它和你自己存在一样简单。”这句话告诉了人们这样一个道理:不要忽视你身旁那些看来习以为常的小事,因为这里面往往会有宝藏。

《中国科学》1986年第三期刊登了 《能用举例子的办法来证明几何定理吗?》等两篇文章,这是洪加威回国后的又一项重要成果。这篇题材别开生面的论文不仅对计算机证明平面几何定理的研究工作跨进了一大步,而且对多年来数学界的一个传统观念提出了新的看法。

要了解这项新工作,还得从有关归纳推理问题讲起。打这样一个比方,假如你第一次吃苹果,发现苹果是甜的,你再吃第二个、第三个.当你吃了一定数量的苹果之后,你会得出一个结论:“苹果吃起来有甜味”,虽然你并没有吃掉世界上所有的苹果。这种归纳式的推理本是人们常用的,是一种非常合乎逻辑的推理形式。然而,这种从特殊的事例概括出一般性知识的思想方法在数学上却站不住脚。

两千多年前,古希腊数学家欧几里得写了一本划时代的伟大著作《几何原本》。他在书中总结了古希腊的数学成果,用公理法建立起演绎的数学体系。这部书里,欧几里得仅从5条公理、5个公设及一些原始定义出发,演绎出几百条命题和定理,从而征服了人类的心灵。这种演绎的推理方法至今仍统治着数学界。

“凡人总要死的,张三是人,因此张三是会死的。”这是一个典型的演绎推理,它的前提和结论之间的联系是必然的。在数学中,从欧几里得以来,只有经过这种把一般性知识应用到特殊场合的推理才能在证明的过程中使用。如果谁在数学里从几个特殊的例子概括出一般性的结论,那么这种结论只能被称为猜想,不能叫做定理。因为它还尚待严格证明。像著名的哥德巴赫猜想至今也还未最后被证明出来。

在中学的课堂上,数学老师总是这样告诫学生:“数学是一门最严格的科学,它的每条定理,都是由前面正确的结论经演绎推理而得到的,在数学里,决不允许靠举几个例子来证明问题.”如果哪个学生 “胆敢”靠举几个正确的例子来证明一道几何命题,那他一定要“吃”零分,因为这是数学上的大忌。

然而,从学生时代起就喜欢“异想天开”的洪加威对数学里这个司空见惯的观点却发生了疑问。一天,他和著名数学家吴文俊教授一起闲谈,讲到了这样一个平面几何问题:

“我们在纸上随便画一个三角形,再连上它三边上的高,如果画得仔细就会发现三高交于一点。不妨多试几次,但每次的结果都是如此。于是你肯定会认为,这要不是一条定理才怪呢! 因为这是一个多么直观又简单的推理过程啊! 如果能按一定的方式找出几个特例来证实这个平面几何定理成立,那么不就能借助计算机来证明平面几何问题了吗?”

“想法是好,但怎么把这个问题严格化呢?”吴文俊教授问道。是啊! 有大胆的设想,还需要有解决问题的手段才行。计算机复杂性理论的研究工作刚告一段落,洪加威立刻又把全部精力投入这一数学的新领域。

数学,以它精密而无懈可击的论证方式赢得了科学女皇的美名。它一向被人们描述为是一门抽象的、演绎的科学,纯理智的精英。然而另一方面,在数学的萌芽和发展阶段中归纳推理也立下过 “汗马功劳”。有人研究过,原始人通常总用一只手拿一件物品,正是经过无数次的反复和归纳,最终才从“多”的概念中分出数字“一”的概念。数学史上的伟大革命——微积分的诞生也与归纳推理密切相关。牛顿等人从前人解决的大量变量问题中归纳出有价值的想法,归结出微分和反微分两个问题,完成了科学史上的一大勋业。抚今追昔,洪加威在想:“归纳和演绎两种推理,它们像一对孪生兄弟,都是人类认识自然的基本方法。可是它们为什么这样水火不容呢? 归纳和演绎两者关系的问题,一定有些很深奥的东西在里面。但究竟如何突破呢?”他继续往下想着。

“归纳推理的好处是简单易行,但却不严密可靠,而演绎推理是严密可靠的,但却不简单易行。能不能用演绎推理的方法来证明某种归纳推理的严密可靠性呢?”

事实上,归纳推理作为科学研究方法几乎和演绎推理有同样悠久的历史。早在两千多年前,亚里士多德就把归纳—演绎方法作为认识自然的统一方法一并提出。而古老的数学分支——平面几何,恰恰是归纳推理和演绎推理历史上分道扬镳的地方,洪加威希望在此找到一个突破口。

经过严密的论证,洪加威在理论上终于证实了他的想法。在中国数学会五十周年年会上,他的《能用计算一个实例的办法证明几何定理吗?》一文,引起了数学界同行们的极大兴趣和关注。根据这一方法,对于一个平面几何的命题只要按一个简单的公式给出一个数值特例,然后对该特例进行验算。

如果这个命题对该特例在一定误差范围内正确则命题一般地精确地成立,否则不成立。于是可以用近似计算代替传统的三段式的推理。这项工作的意义和价值,将有待今后数学界、计算机科学界以及哲学界的学者们去评判。唯物辩证法是宇宙间一切事物的根本大法,在数学这门严密的学科中也毫不例外。洪加威以他出色的思想方法再次证实了恩格斯早年的一句名言:“归纳和演绎,正如分析和综合一样,是必然互相联系着的。不应牺牲一个而把另一个捧到天上去,应当把每一个都用到该用的地方去,而要做到这一点,就只有注意它们的相互联系、它们的相互补充。”

洪加威是新中国培养起来的新一代科学家,他个人成长历程中的起落兴衰与我们整个国家民族的命运是紧密相连的。他时刻都没有忘记,在极左路线盛行、是非颠倒的年代,有多少老师、同学曾给他以鼓励和支持,又有多少热心的好同志、好领导冒着风险保护和帮助过他。在他的每一份成绩里,都蕴含着祖国人民对他的殷切希望。当有的外国科学家劝他留在国外时,他这样写道: “他们知道我的水平,但是不知道我的心。我生为中国人,死为中国鬼,为了祖国的荣誉,我愿奋斗终身!”

现在,洪加威虽已是一个年近五旬的人,但始终保持一颗年轻人的心,他正以旺盛的精力开拓、探索人类思维奥秘的新领域。但他把更大的希望寄予下一代青年同志。他常这样讲:“我是一个乐观派,对科学的未来和人类的前途我充满信心。因为在历史的长河中,人类现在还不过是一个婴儿。它将在信息时代中改造自己,达到出神入化的地步,变成一个比现代人类高千万倍的新人类。”

一位早期数学家说得好:“不是心灵中的诗人,就不可能成为数学家。”是的,洪加威多么像一个满怀豪情的诗人。他笔下的一行行符号、公式、公理,不就是美妙的诗篇吗?这是一首首赞颂科学、颂扬真理、憧憬着人类美好明天的诗!