数学家高斯的惊人才智与成就

少年早慧

卡尔·佛路德里希·高斯,1777年4月30日出生在德国的布劳恩斯维克的一个农民家庭。他父亲是一个勤快的人,除了种地外,什么打杂、打短工的活都干。母亲是石匠的女儿,没有什么文化。勤劳智慧的双亲无论如何也没有想到,他们的孩子似后竟成为一个数学发展史上的伟人。

当时德国还没有统一,分成了几十个小国家各自为政,使德国科学技术的发展大大落后于邻近的法国和英国。高斯就是出生在这样的一个时代。高斯的父母非常疼爱他,经常把自己知道的有限的一点知识慢慢地讲给他听,促进了高斯的智能发展,致使他幼年时就显示出了数学方面的非凡才华。当他年仅3岁时,就已有足够的算术知识来纠正他父亲在算账时发生的错误。这在当时令大家非常惊奇。

高斯有着惊人的记忆力,特别是其心算之快更是令人吃惊,而且这些能力一直到老年时仍然不衰。很快,小高斯是“神童”的赞扬声传遍了家乡。后来,高斯在回忆自己童年的时候说过,他也不知道怎么回事,在学会说话之前,就已经学会计算了。

高斯该上小学了,因为家里很穷,父母无力供他上好一些的学校,只好把他送到当地一所教学质量很差的小学。父母的意思是让小高斯学点基本知识,能认字、会计算,今后就可以凑合谋生了。父母为他们的选择无可奈何,当然,他们也为高斯担心,因为学校的老师是一个态度恶劣的人,他讲课时从不考虑学生的接受能力,而且经常训斥、责骂学生,经常用鞭子惩罚学生。正因为如此,家境稍为宽裕的学生都不去上这所小学校读书,他只好以很低的收费招收一些穷人家的孩子来维持下去。

一天晚上,学校老师突然来到高斯家里,高斯的父母感到非常紧张,以为孩子白天在学校闯了什么祸。出人意料的是老师一反常态,非常激动而诚恳地一再检讨自己过去的不对,表示请家长原谅他过去的错误,以后一定认真教好学生,并一再地夸赞高斯。

谈了半天,高斯的父母才弄清楚是怎么回事。原来白天上数学课时,老师严厉的态度使学生们手足无措、心惊胆战。老师向学生提问题时,学生们紧张得答错了很多。老师看学生这样,也就越发生气。课讲不下去了,老师给学生们出了一道题,让学生计算如1 加2 加3,一直加到100 的和,并且威胁学生们说: “你们谁算不出来,就不准回家吃饭!”

老师满以为把学生们治老实了,自己就坐在讲台旁等着学生们哀求自己了。

一会儿,高斯拿着练习本走了过来,怯生生地问道:“老师,我做得对吗?”老师惊讶极了,本上端端正正写着答案“5050”。 “这个8岁的小孩,怎么这么快就算出来了?”老师看别的学生,都正在紧张地一个数加一个数地算着呢。“天哪! 我自己算这个和也用了小半天哪!”

在老师的询问下,高斯讲出了自己的计算过程。原来,他并不是按着1、2、3 的次序往上累加的,他发现分别从头、尾开始,对称的两个数相加,和都是一样的:1加100是101,2加99是101,直到50加51也是101；一共是50个101,用50乘101,就得出5050了。高斯并不知道,他用的这种方法,就是古代数学家长期努力才找出来的求等差级数和的方法。

高斯的发现,使老师震动极大。他痛感自己轻视了教学工作,过去的做法是完全错误的。由此,老师下决心彻底改变自己的教学态度和教学方法,一定要把孩子们培养成才。当然,老师也为自己拥有高斯这样的学生感到自豪。

老师的态度转变了,家长们高兴地看到孩子们的进步很快,学校也变得很有吸引力了。后来,这位老师成了当地最受人尊敬的人。

努力成才

高斯不愿意听人们的称赞,每天晚饭后,就坐在书桌前开始学习。因为家里太穷,必须节省灯油,他就把一个大萝卜挖空,里面塞进一块油脂,插上一根灯芯,自制了一盏小油灯坚持苦读,直到深夜才睡。

高斯的刻苦好学和数学才华,广为乡亲们称赞。当地的公爵卡尔先生听说此事,在亲自考查了高斯后,激动不已,主动做了高斯有力的保护人。公爵为自己发现了高斯这样好的人才而自豪,为了不让高斯因家庭贫困而失去成才的机会,他自己出钱资助高斯深造。

高斯不负众望,15岁这一年,他得以进入不伦瑞克的卡洛林学院学习,继而又到格丁根大学深造。公爵坚信培养资助高斯,这是自己一生中最伟大的荣耀。这种支持,一直坚持到1806年公爵去世为止。

高斯满怀感激之情,深知学习的机会来之不易。他在大学里异常勤奋,在不长的时间里,便掌握了多种语言,并直接阅读了牛顿、欧拉、拉格朗日等多位大数学家的原著。在学习中,高斯边学习边研究,大数学家们的思想和方法极大地启发了他,高斯感觉自己进入了一个数学的境界,各种思路和方法新颖别致,许多问题迎刃而解。在数学王国里畅游,使高斯逐渐成为一个完美主义者。

作为非欧氏几何学创始者的高斯,当他对平行公理开始怀疑时,还是个十几岁的孩子。许多问题萦回在他的脑际,他总是不断地深入研究。当时,如果他把他的研究成果发表出来,必然会立即被学术界公认为是非欧氏几何学的创始人,但他没有这么做,因为在他看来,自己的研究还未臻完美,而能公诸于世的,必须是 “完美无瑕的艺术品”。这就是高斯保持了终生的特性——不计世俗成就,只追求真理。

17岁这一年,高斯发现了数论中的二次互反律。大数学家欧拉和勒襄德也研究过这个问题,但没有明确的结果,高斯第一次做出了严格的证明。(www.xing528.com)

19岁这一年,高斯用圆规和直尺,顺利地作出了正十七边形,解决了2000年来的一大难题。早在公元前3世纪,大数学家欧几里德就用圆规和直尺作出了正三角形、正四边形、正五边形、正六边形、正八边形、正十边形、正十五边形。但如何作出正七边形、正九边形、正十一边形、正十三边形、正十七边形呢? 这一问题难倒了众多的数学家,甚至有人认为,这些正多边形,用圆规和直尺是根本作不出来的。

但是,高斯竟用圆规和直尺作出了正十七边形。并且高斯还严格地证明了,单用圆规和直尺作不出正七边形、正九边形、正十一边形、正十三边形和正十四边形。高斯把正多边形的规律研究得很透,干净利落地解决了数学史上的一大难题。高斯很钟爱正十七边形,甚至希望在他死后将这一图形刻在他的墓碑上。

22岁这一年,高斯第一次严格证明了代数的一条基本定理。让人们惊叹的是,年轻的高斯从指导思想上,为数学的发展开辟了广阔的前途。

24岁这一年,高斯出版了 《整数论研究》,他认为整数论是“数学的女王”。近代的整数论自高斯而始,高斯以其惊人的心算能力从大量的计算例子中总结提炼出一系列定理。

高斯的工作改变了整个数学的面貌。

高斯成功了。为了减轻公爵的经济负担,1807 年,高斯担任了格丁根大学的天文台长兼数学教授。因为这一职位有较高的收入。很快,高斯就热爱上了天文学,并以其在数学上的丰富学识和惊人才干,取得了天文学上的重大成就。数学理论联系实际,又促使他继续对数学作出了巨大贡献。

当时,英国天文学家赫舍尔发现了天王星,从天王星和太阳的距离比例上,人们推测其间一定还有未发现的行星。不久,意大利天文学家波雅齐果然发现了这颗小行星,这就是后来定名为谷神的星星。当时人们判断不清这是行星还是彗垦,它太小了,过不久就看不到它了。也不知什么时间在什么位置它再能出现。

高斯运用自己数学方面的才干,创立了精确的行星运行轨道理论,以一个八次方程概括它,很顺利地预言了谷神星出现的时间和位置。高斯热爱上天文学,他有6个子女,其中有4个人的名字,都是以小行星的发现者的名字命名。他担任这个天文台长的职位一直到逝世。

高斯迷上了天文学,此后他用了10年的时间把数学才能与天文学结合起来,用数学的形式完成了天文学的《运动论》,对天文学理论的发展作出了卓越的贡献。

对数学的信念

高斯沉浸在数学的天地里不能自已。长期的数学研究与应用工作,使高斯坚信数学的巨大威力。他要利用数学工具去解决更广阔领域的问题。

他的研究从天到地。1818年,他在应聘为汉诺威王国做土地测量调查时,通过研究地球形状的工作用数学精确设计并发明了反光仪。同时利用数学深入进行了曲面研究,发表了《关于曲面的研究》一文,为测量学和曲面论闯出了新的路子。1831年以后,他又致力于电学和磁学的基本研究,并发明了电磁电信,提出了一般的通量定理,为物理学作出了非常重要的贡献。

磁通密度的单位就是以高斯的名字命名的。

此外,高斯在结晶学、光学、生物统计学、力学、平衡状态中的流体、毛细管现象等研究上,也贡献颇多。

高斯生前发表的研究论文多达155篇,还有大量写在手稿和日记上从未发表的研究论文,直到20世纪,人们发现并研究了高斯的日记,世人才认清他对科学的全部价值。高斯的座右铭是“少而精”。他在广泛的科学领域里,留下了这么多贡献,却又说是 “少数”,这是为什么? 可能是面对整个大自然的奥秘,而自觉是“少数”——这也是高斯完美主义的另一种表现吧!

高斯以自己的实践体会,认为数学不仅对于科学技术,而且对于经济学、统计学、财政、保险的完善和发展,都有重要的应用价值。高斯的预言,今天都已成为事实。高斯的数学眼光是敏锐而深广的!

高斯深深地进入了数学的境界。他在冗长的研究计算中找到了无可比拟的乐趣,甚至在他身体极度衰弱,去世的前3天晚上9点,在已经无法工作的情况下,还在计算自己已活了多少天,折算为小时是多少,再把这数目记在长年带在身边的保险统计簿上。

当时民间都迷信 “神必使宠儿夭折”。高斯的亲戚看到小时的高斯过于早熟,心算能力奇佳,虽然为他高兴,但当时都担心他会过早谢世,可是高斯却活到了78岁,并且在纯粹数学和应用数学方面留下了无人可以望其项背的伟大成就,更奠定了现代代数学和物理学的基础。