冯·诺依曼：数学家的故事

青年时代

约翰·冯·诺依曼1930年12月28日生于匈牙利布达佩斯一个殷实的犹太人家庭里。他的父亲曾受匈牙利国王弗朗兹·约瑟夫的册封,获得低等贵族称号。

在布达佩斯,当时是数学界人才辈出的时代,冯·诺依曼与西拉德 (1898 年)、维格纳 (1902 年)和特勒 (1908年)相比,仍然是他们中间的佼佼者。关于他的童年,有不少传说。有的故事说他的记忆力十分惊人。他自幼爱好历史学,几乎过目成诵,终于成了拜占庭史的行家,还谙熟圣女贞德审讯的详情以及美国南北战争的细节。

有人曾说,他只要看过电话本的某一栏,即能谙记栏内的姓名、地址和电话号码。他不但机智过人,还富于幽默感,爱好双关语和俏皮的打油诗。大多数的传说都讲到他自童年起在吸收知识和解题方面具有惊人的速度。他6岁时能心算做八位数除法,8岁掌握微积分,12岁就读懂领会了波莱尔的大作《函数论》的要义。

冯·诺依曼十几岁时曾得到一位叫L.拉兹的颇有才智的中学教师的教诲,不久以后,他成了M.法格蒂和L.法杰尔的弟子。L.法杰尔人称 “许多匈牙利数学家的精神之父。”

冯·诺依曼的父亲因考虑到经济上的原因,请人劝阻年方17岁的诺依曼不要成为数学家。后来父子俩达成协议,诺依曼便去攻读化学。1921—1925 年,他先后在柏林和苏黎世学习化学。1926年诺依曼同时获得苏黎世化学工程文凭和布达佩斯数学博士证书。

冯·诺依曼20岁时发表的序数定义,现在已被普遍采用,他的博士论文也是关于集合论的；他的公理化方法,在这个主题方面,留下了不可磨灭的标记。他一生中始终对集合论和逻辑抱有很大的兴趣。尽管1931 年哥德尔证明了“数学的无矛盾性是不可能证明的”,说明数学推理能力有局限性,然而这仅仅使诺依曼情绪有过短暂的波动。

他在柏林 (1926—1929 年)和汉堡 (1929—1930 年)当过无薪大学教授 (报酬直接来自学生的学费)。在这段时期,他离开了集合论,从事两个课题:量子理论和算子理论方面的工作。他被新的物理概念所激励,更广泛深入地进行无限维空间和算子的纯粹数学的研究。基本见解是希尔伯特空间中的向量几何和量子力学系统的态结构之间有着同样的形式性质。冯·诺依曼论述量于力学的著作 (德文本),在1932年发表,它被译成法文,(1947年)、西班牙文 (1949年)和英文(1955年)。至今,该文仍是这个主题的经典著作。诺贝尔奖金获得者E.维格纳,在一篇描述冯·诺依曼对量子力学所作贡献的讲演中说:量子力学方面的贡献,就足以“确保冯·诺依曼在当代理论物理领域中的特异地位。”

在普林斯顿大学

1930年,冯·诺依曼以客座讲师的身份赴普林斯顿大学讲学,任期一学年,次年即应聘当了普林斯顿大学的教授。1933年高级研究院成立时,他是研究院数学所奠基时代的六位教授之一,并在这一职位上了其一生。

1930年冯·诺依曼与玛利埃塔·科维茜结婚,1935年生了一个女儿,取名玛利娜。冯·诺依曼神童般的幼年预示他将来必成大器,岁月果然证实了这点,他很快就成为数学界的明星。在他扬名数学界的同时,关于他的种种趣闻轶事也广为传播开来了。他是个世界主义者,然而,成为美国公民却是他自己作出的选择。

冯·诺依曼家里常举办持续时间很长的社交性聚会,这是远近皆知的。约翰尼(约翰的昵称)自己饮酒不多,但绝非滴酒不沾的人。他偶尔也玩扑克牌,不过,打起牌来,他总是输家。

1937年冯·诺依曼与妻子离婚；1938年又与克拉拉·丹结婚。克拉拉·丹随诺依曼学习数学,后来成为优秀的程序编制家。多年后,克拉拉在一次接受记者采访谈及她丈夫时说道:“他对自己家的屋子一点儿几何头脑也没有,连个位置都搞不清楚…一次在普林斯顿,我叫他去给我取一杯水,过了一会儿他回来了,问我玻璃杯在哪里。我们在这所房子里住了17年..他从来没有用过锤子和螺丝刀,家里的事,除了修拉链以外,他一点也不做。他修拉链可以说是‘手到病除’。”

冯·诺依曼绝不是那种脸谱化的大学教授样子。他是个粗壮结实的男子汉,衣着整齐、讲究。自然有人说他有时是何等的心不在焉。克拉拉告诉我,一天早晨冯·诺依曼从普林斯顿的家里驱车出发到纽约赴约会,车抵新不伦瑞克时,他又打电话回来问他妻子:“我上纽约去干什么?”当然这可能不完全贴切,不过我还是想起有一天下午我开车送他回家的情形。因为那天晚上他家有一次聚会,我自己又记不清到他家的路途。于是我就问他,我下次再来时怎样辨认他的那所房子。他告诉我说:“那可容易,街边有家鸽啄食的那所房子即是我家。”

冯·诺依曼思考问题的速度真是令人敬畏。G.波列亚也承认,“约翰尼是我惟一感到害怕的学生。如果我在讲演中列出一道难题,讲演结束时,他总会手持一张潦草写就的纸片向我走来,告诉我他已把难题解出来了。”无论是抽象的求证还是运算,他做起来都是得心应手的,不过他对自己能熟练地运算还是格外感到满意和引以为豪。当他研制的电子计算机准备好进行初步调试时,有人建议计算一道涉及2的幂的计算(这道题大致是这样的:具有下列性质的最小幂是什么,当它的十进数字第四位是7时? 对现在使用的计算机来说,运算这道题根本不费吹灰之力,它只需几分之一秒的时间即可取得运算结果)。计算机和约翰尼同时开始运算,约翰尼竟领先完成了运算。一个著名的故事说到,阿伯丁检验场的一位青年科学家有一个复杂的式子需要求值。第一个特解,他花了十分钟时间,第二个特解,他用笔和纸运算了一个小时。第三个特解,他不得不求助于台式计算机,即使是用了台式计算机他还是得花上半天的功夫。当约翰尼进城时,这位青年科学家把公式递上去向他求教。约翰尼自然乐于相助。“让我们先来看看前面几个特解的情况。如果我们令n＝1,我们可求得……”——他昂首凝思,喃喃而语。年轻的提问者顿时领悟到它的答案,便插嘴说,答案 “是2.31吧?”约翰尼听了后不解地看了他一眼并说:“我们现在令n＝2,……”他思索着,嘴唇微微启动。这位年轻人由于事先胸有成竹,当然能摸得到约翰尼的演算过程,在约翰尼就要算出答案前的一瞬间,这位青年科学家又插话了,这次他用一种迟疑的口吻说:“是7.49吗?”这次,约翰尼听了不免蹙起了眉头,他连忙接下去说:“如果令n＝3,那么…”还是一如既往,约翰尼默念了片刻,青年科学家在一旁偷偷地听到了他计算的结果。还没等约翰尼运算完毕,青年科学家就喊了出来:“答数是11.06。”这下约翰尼可受不了啦。这完全不可能。他从未见过有初出茅庐之辈能胜过他的! 他一时陷入了心烦意乱之中,一直到开玩笑的家伙自己向他承认事先已作过笔算以后,他才平息了心头的愠怒。

另一则趣闻是所谓著名的苍蝇难题。两名自行车选手在相距20英里以外以每小时10英里的匀速从南北两向相对而行。与此同时,有一只苍蝇以每小时15英里的匀速从南行的自行车前轮出发,飞往北行的自行车的前轮,然后再返回南行自行车的前轮,依此情形不断往返,直到苍蝇被辗死在两辆自行车的前轮之间。问:苍蝇飞行的总距离是多少? 缓慢的解题方法是先求出苍蝇北飞的第一段距离,然后求出南飞的第二段距离,然后再求出第三段距离,最后计算出由此求得的无穷级数的总和。快捷的解题方法是从观察中知悉,两辆自行车出发后整一个小时即相遇,因此苍蝇恰好只有一小时的飞行时间；因此,答案一定是15英里。当有人向冯·诺依曼提出这道难题时,诺依曼不假思索就解了出来,这使提问者十分失望:“呀,你一定曾经听说过其中的奥妙!”诺依曼反问道:“你说的是什么奥妙? 我仅是求出了无穷级数呀!”

有人记得冯·诺依曼讲课时曾讲过算子环问题。他提到,算子环可以分成两类:有限对无限一类,离散的对连续的为另一类。他接下去说: “这就会引出总共四种可能性,这四种可能性每种都能成立。或者——让我们想想——它们能成立吗?”听讲者中间有好几位数学家在他的指导之下研究这一课题已有相当一段时间了。如果稍稍停顿略加一番思考,对四种可能性—一核验绝不是太麻烦的事。一点也不费事——每种可能性只需用几秒钟时间核验,如果把思索和转话题的时间加进去,总共不过费十秒钟时间。但是,两秒钟以后,冯·诺依曼已经在说: “是的,四种可能性都能成立。”大家还没从迷茫之中清醒过来跟上他的讲演,他已经就开始讲解下文了。

鲜明的个性

严格地说,匈牙利语不是一种四海通行的语言,所以所有受过教育的匈牙利人必须能操比他们本国语更具广泛使用价值的一种或几种语言。冯·诺依曼一家在家里都说匈牙利语,然而他能极熟练地使用德语、法语,当然还有英语。他说英语的速度很快,在语法上也经得起推敲。但是在发音和句子结构方面,不免使人想起很像德语。他的“语感”还不能算是尽善尽美,遣词造句不免复杂。

他准备讲演时几乎从来不用笔记。有人看到他对一般听众作非数学专业的讲演开始前五分钟做的准备。他坐在研究院的休息室里,在一张卡片上粗略地涂写上只言片语,比如:“动机的形成,5分钟；历史背景,15分钟；与经济学的关系,10分钟……”

作为一个数学讲演者,他会使人感到应接不暇。他说话很快,但吐字清楚,用词确切,讲解透彻。比如,如果一个课题可能有四种公理方法,大多数教师只满足于展开一个或最多两个系统,最后再附带提及其他两个。冯·诺依曼则不然,他喜欢把情况的“全部图景”描绘出来。也就是说,他会具体描述从第一导致第二的最短捷径,从第一至第三,然后再继续下去一直到12个可能性为止。

他讲课时擦黑板太快,十分令人不愉快。他板书讨论中关键性的公式,当公式中的符号可由别的符号来替代时,他不作适当的修改重写公式以标明替代部分,与此相反,他擦抹去可替换的符号,代之以新的符号,这种做法不免使记笔记的听讲者泄气,特别是他为了继续他的推理过程同时还一直滔滔不绝才智横溢地讲个不停。

他所阐述的原理是那么平易自然,他的风格是那样的令人折服,所以要听懂他的讲演,不必一定是个数学行家。然而,听讲者几小时以后会感到,一般的记忆力已支撑不住因果内含的微妙平衡了,听讲者会感到迷惑和不足,需要听取进一步的讲解。

作为一个数学著作家,冯·诺依曼的思路清晰,但脉络分明稍逊。他的著作行文有力,然而雅致尚嫌不足。他似乎喜欢搞细枝末节和不必要的重复,各种数学符号运用得过于详尽而有时会令人摸不着头脑。他在一篇论文中首次使用了一种普通函数符号的引申,以此来保持逻辑上的正当区分,而不顾这种明显的区分事实上是无关紧要的。除了运f(x)的标准符号以外,他还使用了一种f((x))的符号。读者必须进行琐细的分析,由f((x))求得f(((x))),最后再求得f((((x)))),所以会出现这样的方程式: (f((((x)))))2＝f((x)))(www.xing528.com)

要消化吸收这种方程,一定要先除去外皮才行,一些出言欠逊的学生把这篇论文中的公式称为冯·诺依曼的洋葱头。

冯·诺依曼十分注意细节,原因之一可能是他感到自己动手运算求证要比博引旁证约定俗成的定规要来得简捷。结果就难免使人产生一种印象,他似乎对标准文献资料了解甚少。如果他需要从勒贝格积分理论中援引若干事实,即使是熟悉的事实,他总是情愿全力以赴,从最基本的符号下定义开始,逐步展开一直到他能加以引用的步骤。在第二篇论文中,如果他又需要引用积分理论,他又会从头做起。

论文中一长串的尾标,添标上又加上添标,论文中充满了可避免的代数计算,这在他看来并没有什么不好。其中的原因可能是他从大处着眼,不愿树木淹没在森林之中。他乐于考虑数学问题的各个方面,而且思维周密。他著书立说时从不以居高临下的口气对读者说话,仅是告诉读者他的见解而已。这种做法倒也高明,结果是很少有人能找到机会可以给冯·诺依曼的著作提出批评指正的。

因为冯·诺依曼30岁以后便与教育机构失却了正式的关系,所以他的学生人数是屈指可数的；他一生中只指导过一篇博士论文。然而经过讲演和不拘形式的谈话,他在自己的周围云集了一小批弟子,弟子们各自继承了他研究的数学科学的某个领域。这批弟子中有J.W.卡尔金,J.查尼,H.H.戈尔茨坦,P.R.哈尔姆斯,I.哈尔普林,O.摩根斯顿,F.J.默里,R.沙顿,I.E.西格尔,A.H.陶布,以及S.乌拉姆。

冯·诺依曼决不因为自己能敏锐地把握事物而驻足不前,他是一个勤奋工作的人。他的夫人说:“他在家写作总要到深夜或黎明时分才搁笔。他的工作能力惊人。”除了在家里工作以外,他在办公室也孜孜不倦地工作。他每天一早就到研究院,一直到很晚才离开,其间他十分珍惜时光,决不让光阴白白流逝。他办事事无巨细都安排得井井有条,文章校对也很细心。

冯·诺依曼在数学科学上对学问的探求是激流勇进的,这是他引人注目同时又令人钦佩的品质。他在数学领域的学问和知识可谓广博,从他的整个知识结构看还不免有缺陷,特别是数论和代数的拓扑。

聪明才智,加上敏捷和勤奋必然会结出丰硕的成果。冯·诺依曼的著作 《选集》一书中,收集了他的150 余篇文章,其中约60篇是纯粹数学 (集合论、逻辑、拓扑群、测度论、遍历论、算子论以及连续几何学),20 篇属于物理学,60篇属于应用数学 (包括统计学、博弈论以及计算机理论),还有几篇零星的文章。

多领域的成就

冯·诺依曼数学家的声誉是在1930年才较好地确立起来的,主要依赖于他在集合论、量子论和算子论方面的工作。然而就纯粹数学而言,他走过了三个历程。第一是遍历性定理的证明。遍历性假设,可以精确地叙述为在希尔伯特空间上的算子理论,这正是冯·诺依曼早期用来使量子力学精确化的论题。冯·诺依曼叙述和证明了现在著名的关于酉算子的遍历性定理,并且用于算子理论的研究,取得了成功。

1900年,大卫·希尔伯特提出了著名的23个问题,它们总结了当时数学知识的状况,而且指明了今后所需做的工作。1933年,阿·哈尔证明了在拓扑群中存在着适当的测度(后来称为哈尔测度)；他的证明发表在数学年刊上。在发表前,冯·诺依曼已接近了哈尔的结果,他清楚地看到这恰好是求解希尔伯特第五问题的一种特殊情况(紧致群)时所需要的,他的文章也发表在同一期数学年刊上,恰好紧接着哈尔的文早。

1930年下半年,冯·诺依曼发表了一系列关于算子环的论文(部分论文是和F.J.摩莱合作的)。该理论现在称为冯·诺依曼代数。也许,这是冯·诺依曼最值得人们铭记不忘的著作。它是算子理论在技术上最光辉的发展,它推广了许多有限维代数的熟知结果,是量子物理研究中最强有力的工具之一。

算子环理论的一个惊人的新的生长点是由冯·诺依曼命名的连续几何。普通几何论述维数为1、2、3的空间。在他论算子环的著作中,冯·诺依曼已看到,实际上决定一个空间的维数结构的是它所容许的旋转群。冯·诺依曼陈述了使得连续难数空间有可能成立的公理。这几年中他不断地思考和论述连续几何的论题。

1940年,是冯·诺依曼科学生涯的一个转折点。在此之前,他是一个通晓物理学的登峰造极的纯粹数学家；1940年以后则成为了一位牢固掌握纯粹数学的应用数学家。他开始对把数学应用到物理领域去的最主要的工具偏微分方程发生了兴趣。此后,他的文章主要是论述统计、冲激波、流问题、水动力学、空气动力学、弹道学、爆炸学、气象学以及把非古典的数学应用到现实世界去的两个新的领域:博弈论和计算机。冯·诺依曼曾提出用聚变引爆核燃料的建议,并支持发展氢弹。1949 年军队的嘉奖令赞扬他是物理学家、工程师、武器设计师和爱国主义者。冯·诺依曼在政治和行政方面的决策,很少站在所谓的“自由主义”这一边。他有时还站出来主张对俄国发起一场预防性的战争。早在1946年,原子弹试验就遭到了持反对意见者的批判,但是冯·诺依曼却认为它们是必需的。他不同意J.R.奥本海默反对核弹爆炸计划的意见,而且敦促美国在俄国掌握它之前就着手建造,然而在一次国会安全听证会上,他说:奥本海默是以“良好的愿望”反对这个规划的,但是一旦做出继续制造超级炸弹的决定,他的意见就是 “很有建设性的。”他坚信奥本海默是一个可靠的人。他是原子能委员会的成员,不得不“思考某些不可思议的问题”。他推动联合国去研究世界范围的放射性效应。早期太平洋原子弹试验的放射性外逸事件中,死亡一人,并使200人受伤,这件事几乎引起了全世界的关注。冯·诺依曼将这次事件与日本的某一次渡船事件造成的损失作了对比,渡船事件中有1000人死亡 (其中包括20名美国人)。损失大大超过前者,于是他断言:为了用先进的技术来装备工业,承受某些尽可能小的损失,看来还是难免的。

冯·诺依曼不仅曾经将自己的才能用于武器研究,而且他还发现,自己的时间和能力可以用到所谓的博弈论中去,这种理论主要用于经济学研究。博弈论的数学基础是一个命题,称为极大极小定理。极大极小定理用于处理一类最基本的二人博弈问题。如果博弈双方中的任何一方,对每种可能的博弈策略,考虑了可能遭到的极大损失,从而选择“极大损失”。极小的一种策略为 “最优”策略,那么从统计角度来看,他就能够确保方案是最佳的。数理经济学,过去模仿经典数学物理的技巧,所用的数学工具主要是分析(特别是微积分),将经济问题当作经典力学问题处理,这种方法的效果往往不太有效。冯·诺依曼抛弃力学的类比,代之以新颖的观点(对策论)和新的工具(组合和凸性的思想)。

博弈论在未来的数学和经济学中所处的地位,当时还不容预料。但是有些博弈论的热情支持者已经认为:博弈论可能会是“二十世纪前半期最伟大的科学贡献之一。”

对冯·诺依曼声望有所贡献的最后一个课题是电子计算机和自动化理论。计算机运行过程的逻辑成分是什么,从不可靠的元件组成的一台机器要得到实践上可靠的答案的最好办法是什么,一台机器需要 “记住”些什么,用 “存储器”装备它的最好办法是什么,能否造一台机器,不仅能节约计算工作而且也能减少建造新机器的困难,即能否设计一台自己能再生产的自动机,一台计算机能否成功地模仿 “随机性”,使得当没有公式可遵循时,也能解出一个具体的物理问题(如怎样寻求一个最优的轰炸模型),计算机能通过大量的概率实验,推得一个统计上精确的答案吗? 这些都是冯·诺依曼研究的问题。他为解答这些问题,做出了基本的贡献。

冯·诺依曼还提倡将计算机技术用于各个不同的学科领域,从求解偏微分方程的近似解,到长期精确的天气预报,以至最终达到控制天气。他建议研究的最引人注目的题目之一是对北极“冰帽”染色,以期减少它们辐射出的能量,提高地球热能,让冰岛的恶劣气候变得接近于夏威夷。

科学院交给冯·诺依曼的最后一个任务是整理和发表耶鲁的西列曼讲座的成果。他住医院期间,还一直在做这件工作,但是没有最终完成。他在整理西列曼讲座中所用的方法,用词的精确性,也间接地证明了,在多方面作出过卓越贡献的冯·诺依曼,始终首先是一位数学家。

离开人间

冯·诺依曼是他所处时代的杰出人物。他接受了多种荣誉和学位,包括普林斯顿(1947年)、哈佛(1950年)和伊斯坦布尔(1952年)的学位。他在1951—1953年间,担任美国数学协会主席,他也是好几个国家的科学院院士。1956年,他在身患不治之症时,接受了E.费米奖。冯·诺依曼1955年得病,经过检查,结果确诊为癌症。病势在扩展,但即使在旅途中,他也不停止工作。后来他被安置在轮椅上,但仍在思想、写作以及参加会议。1956年4月,他进入沃尔特·里德医院,以后就未曾离开过。

冯·诺依曼思考问题的清晰程度,在任何情况下,都比我们大多数人的水平要来得高。N.维格纳和冯·诺依曼都是杰出人物,他们的名字都将留传于后世。但是,他们又是不同类型的人物,维格纳观察事物深刻而又直觉,而冯·诺依曼看问题清晰并且逻辑性强。

是什么因素使得冯·诺依曼不同凡响的呢? 是他思考问题时理解和思考力超常迅速呢,还是能牢记各种事物的非常的记忆力呢? 不! 这些品质,尽管它们可能给人印象深刻,但不是决定性的。

“公理方法”有时被看做为冯·诺依曼取得成功的奥秘。在他的手中,公理方法并不是迂腐的而是直观生动的；他通过把注意力集中于基本性质(公理)上,以求把握问题的实质,然后由此出发推演出一切。同时,公理方法也启示他一步一步地从基础理论研究推向应用。他了解自己的能力,他赞扬或许也羡慕那些具有特殊素质的、并区有着非理性的直觉灵感的人,这种灵感有时能改变科学进程的方向。对冯·诺依曼来说,似乎不可能有难于理解和难于表达的思想。他的远见卓识给人深刻的印象,他的表述则是严谨清晰的。